Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает mA(x)Î [0,1], формируя векторную функцию принадлежности { mA(x1), mA(x2), . mA(x9)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый" или "этот человек не лысый", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m "лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, mA(xi) = wi, i=1,2, .,n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {aij}, где aij=wi/wj (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij = 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = lmaxw, где lmax - наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Операции над нечеткими множествами

Включение.

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) mB(x).

Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство.

A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение.

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"xÎE mA(x) = 1 - m B(x).

Обозначение: B = или A = .

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение.

AÇB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

mAÇB(x) = min( mA(x), m B(x)).

Объединение.

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

mAÈ B(x) = max(mA(x), m B(x)).

Разность.

А - B = АÇ с функцией принадлежности:

mA-B(x) = mA Ç (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма.

АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç) È(Ç B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Здесь:

AÌB, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

= 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

AÇB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

АÈВ = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

А - В = АÇ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В - А =Ç В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней - даны , AÇ , AÈ .

Свойства операций È и Ç.