Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0 ">xÎE;

AÇÆ = Æ;

AÇE = A, где E - универсальное множество;

AÈE = E;

- теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AÇ ¹ Æ,

AÈ ¹ E.

(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция T:[0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

T(0,0)=0; T(mA, 1) = mA; T(1,m A) = mA - ограниченность;

T(mA, mB) £T(mC, mD), если mA£mC , mB£mD - монотонность;

T(mA , m B) = T(mB, mA) - коммутативность;

T(mA, T(m B, mC))= T( T(mA, mB), mC) - ассоциативность;

Простым случаем треугольных норм являются:

min(mA ,m B)

произведение mA×mB

max(0,mA +m B -1).

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]® [0,1], со свойствами:

T(1,1) = 1; T(mA ,0) = m A ; T(0, m A) = mA - ограниченность;

T(mA, mB )³ T(mC, mD ), если mA ³mC , mB ³mD - монотонность;

T(mA , mB ) = T(mB , mA ) - коммутативность;

T(mA, T(mB , mC )) = T(T(mA , mB ), mC ) - ассоциативность.

Примеры t-конорм:

max(mA, m B)

mA + mB - mA× mB

min(1, mA + mB).

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так:

"xÎE mA×B (x) = mA(x)mB(x).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

"xÎE = m A(x) + mB(x)-mA(x)mB(x).

Для операций {×, } выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

A×Æ = Æ, AÆ = A, A×E = A, AE = E

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также A× = Æ, A = E.

Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.

Для примера докажем свойство: . Обозначим mA(x) через a, mB(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab. 

Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A×(BC) ¹ (A×B)(A×C). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹a2. 

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:

А×(BÈC) = (A×B)È(A × C);

А× (BÇC) = (A×B)Ç(A×C);

А(BÈC) = (AB)È(AC);

А(BÇC)=(AB)Ç(AC).

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a - положительное число. Нечеткое множество Aa определяется функцией принадлежности mAa = maA(x). Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A2 - операция концентрирования,

DIL(A) = A0,5 - операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Умножение на число. Если a - положительное число, такое, что am A(x)£1, то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности: