mA(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {mA(х)/х}, где

mA(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или

Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

Величина m A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (m A(x)=1). При mA(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если " xÎE m A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле mA(x) := .

Нечеткое множество унимодально, m A(x)=1 только на одном x из E.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством mA(x)>0, т.е. носитель A = {x/mA(x)>0} " xÎE.

Элементы xÎE, для которых mA(x)=0,5 называются точками перехода множества A.

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2, ,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть E = {0,1,2,3, .,n, .}. Нечеткое множество "малый" можно определить:

"малый" = .

Пусть E = {1,2,3, .,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью

m"молодой"(x) = .

Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров, .} задается с помощью функции принадлежности m"молодой"(x) на E = {1,2,3, 100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

m"молодой"(Сидоров):= m"молодой"(x), где x - возраст Сидорова.

Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, } - множество марок автомобилей, а E' = [0,¥) - универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа:

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, } выглядит следующим образом:

Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные", "средние", "тихоходные" и т.д.

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы: