2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е1´Е2´ .´Еn - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X,Y)® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ÎX´Y величину mR(x,y) Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X´Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

Пусть X = Y = (-, ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого mR(x,y) = e-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi,xj) в случае XRX соединяется ребром с весом mR(xi,xj), в случае XRY пара вершин (xi,yj) соединяется ребром c весом mR(xi,yj).

Примеры:

Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:

Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором GÌX´Y, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что GÇ = Æ и GÈ = X´Y.

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R: X´Y®[0,1].

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R)={(x,y): mR(x,y)>0}.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:

"(x,y)ÎX´ Y: mR1(x,y)£mR2(x,y),

тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .

Обозначение: R1ÍR2 .

Пример:

Отношения R1 , R2 - отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1 отношение R2 содержит R1 .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R1 и R2.

Объединение двух отношений обозначается R1ÈR2 и определяется выражением:

mR1ÈR2(x,y) = mR1(x,y)Ú mR2(x,y)

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR1ÈR2y - "числа x и y очень близкие или очень различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

где a - такое |y-x|, что mR1(x,y) = mR2(x,y)

2.

Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1ÇR2 и определяется выражением: