устроен таким образом, что в нем нет прямой непосредственной необходимой причинной связи всего со всем. И потому хотя Космос, безусловно, оказывает определенное воздействие на земные явления (в том числе, например, геомагнитными бурями на состояние здоро- вья человека), конечные причины человеческих и социальных про- цессов и судеб лежат не за пределами Земли, а в земных факторах— природных (прежде всего, биологических) и социальных.

2.2.5. Математические знания

В рассматриваемую эпоху математические знания развивались в сле- дующих основных направлениях. В о - п е р в ы х, расширяются пределы считаемых предметов, по- являются словесные обозначения для чисел свыше 100 единиц — сна- чала до 1000, а затем вплоть до 10 000. В о - в т о р ы х, закладываются предпосылки позиционной систе- мы счисления. Они состояли в совершенствовании умения считать не единицами, а сразу некоторым набором единиц (4, 5, чаще всего 10). Когда нужно было пересчитать большое количество одинаковых предметов (например, стадо скота), применялся так называемый групповой счет. Такой счет вело несколько человек: один — вел счет единицам, второй — десяткам, третий — сотням (наблюдения Н.Н. Миклухо-Маклая' ). Развитие хозяйства, торговли требовало не просто умения считать, но и умения сохранять на длительное время или передавать на расстояния результаты счета (очень часто — боль- шие числа). Для этого применялись известные еще с древнейших времен бирки, шнуры, нарезки или узлы, на которых уже обознача- ются не только единицы, но и группы единиц (по 4, 5, 10, 20 единиц). По сути, формировался прообраз различных систем счисления. В - т р е т ь и х, формируются простейшие геометрические аб- стракции — прямой линии, угла, объема и др. Развитие земледелия, отношений земельной собственности требуют умения измерять рас- стояния, площади земельных участков (отсюда и происхождение слова «геометрия» — от древнегреческого «землемерие»). Развитие строительного дела, гончарного производства, распределение уро- жая зерновых и проч. требовало умения определять объемы тел. В строительстве было необходимо уметь проводить прямые горизон- тальные и вертикальные линии, строить прямые углы и т.д. Натяну- тая веревка служила прообразом представления о геометрической прямой линии. Одним из важнейших свидетельств освоения челове- ком геометрических абстракций является зафиксированный архео-

логами бурный всплеск использования геометрических орнаментов на сосудах, ткани, одежде. Геометрическая отвлеченность начинает превалировать в художественной изобразительной деятельности, в передаче изображений животных, растений, человека. На Древнем Востоке математика получила особое развитие в Ме- сопотамии. Математика развивалась как средство решения повсе- дневных практических задач, возникавших в царских храмовых хо- зяйствах (землемерие, вычисление объемов строительных и земля- ных работ, распределение продуктов между большим числом людей и др.). Найдено более сотни клинописных математических текстов, которые относятся к эпохе Древневавилонского царства (1894— 1595 гг. до н.э.). Их расшифровка (Варден ван дер Б.Л. и др.) показа- ла, что в то время уже были освоены операции умножения, определе- ния обратных величин, квадратов и кубов чисел, существовали таб- лицы с типичными задачами на вычисление, которые заучивали наи- ' зусть'. Математики Древнего Вавилона уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). Система счисления была шестидесятиричной. Жителям Древнего Вавилона были известны приближенные значения отношения диаго- нали квадрата к его стороне ( корень из 2-х они считали равным приблизительно 1,24; число л — приблизительно равным 3,125). Вавилонская математика поднялась до алгебраического уровня, ' оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и. проч.), а числом вообще, числом как абстракцией. При этом числа рассматривались как. некий символ иной, высшей реальности (наряду с множеством других символов такой высшей реальности). Но у древ- них вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегре- ческой математике представления о числах как некоторой абстракт- ной реальности, находящейся в особой связи с материальным миром. Поэтому у них не вызывали мировоззренческих проблем вопросы о природе несоизмеримых отношений и иррациональных чисел.

Основная общая особенность и общий исторический недостаток древневосточной математики — ее преимущественно рецептурный, алгоритмический, вычислительный характер. Математики Древнего Востока даже не пытались доказывать истинность тех вычислитель- ных формул, которые они использовали для решения конкретных практических задач. Все такие формулы строились в виде предписа- ний: «делай так-то и так-то». Потому и обучение математике состояло в механическом зазубривании и заучивании веками не изменявшихся способов решения типовых задач. Идеи математического доказатель- ства в древневосточной математике еще не было. Вместе с тем у древних вавилонян уже складывались отдельные предпосылки становления математического доказательства. Они со- стояли в процедуре сведения сложных математических задач к про- шлым (типовым) задачам, а также в таком подборе задач, который позволял осуществлять проверку правильности решения.