Метод определения меры различия между наблюдаемыми и предполагаемыми (теоретическими) численностями — хи-квадрат.

Ранее были рассмотрены различные отношения между выборка­ми: количественное преобладание какого-то признака, представлен­ного в одной из выборок, теснота связи между выборками. Но есть еще одно важное отношение между ними: количественная разница распределений, благодаря которой при сопоставлении выборок от­крывается возможность прийти к содержательным выводам. Это от­ношение обнаруживается при сопоставлении распределений численностей. Допустим, что сравниваются две выборки, выпускников двух школ. Часть выпускников каждой школы сдавали экзамены в вузы. Из первой школы сдавали экзамены 100 человек, из них 82 успешно, не сдали 18. Таково распределение численности в первой выборке. Из второй школы сдавали экзамены в вузы 87 человек, выдержали 44 человека, не сдали — 43. Таково распределение численностей во второй выборке. Достаточно ли этих данных, чтобы утверждать, что подготовленность к вузовским экзаменам выпуск­ников этих школ неодинакова? На первый взгляд, разница налицо:

лучше подготовлены выпускники первой школы. Однако при таком раскладе численностей возможно влияние случайности. Поэтому встает вопрос, можно ли, считаясь с представленными распределе­ниями, прийти к статистически обоснованному выводу о мере под­готовленности к экзаменам в вузы той и другой выборки.

Метод, с помощью которого подвергаются статистическому ана­лизу описанные распределения численностей, получил название хи-квадрат, его обозначают греческой буквой x2 с показателем степе­ни. Он был разработан математиком Пирсоном. Метод x2 весьма универсален, применим во многих исследованиях, пригоден для ста­тистического анализа распределения численностей разнообразных количественных материалов, относящихся ко всем статистическим шкалам, в том числе и к шкале наименований.

Техника вычисления хи-квадрата довольно проста. Рассмотрим пример со сдачей экзаменов в вузы выпускниками первой и второй школ. В условии сказано, что всего намерены были сдавать экзаме­ны 187 человек: 100 учащихся (53,5%) из первой школы и 87 (46,5%) из второй. Предположим, что выпускники обеих школ под­готовлены одинаково, тогда и доли сдавших и не сдавших будут та­кие же, как доли их представленности в общем числе сдающих. Всего сдало экзамены 126 выпускников (82 + 44). Согласно выска­занному предположению, 53,5% от этого числа должны бы были прийтись на 1-ю школу — это составит 66,9 от 126 — и 46,5% на 2-ю школу, что составит 58,9 от 126. Такое же рассуждение повторяем и относительно несдавших. Их всего 61 человек (18 + 43). На 1-ю школу, как нам известно, должно, по предположению, прийтись 53,5% от этого числа, т.е. 33,0 от 61, а на долю 2-й школы — 46,5%, т.е. 28,1 от 61. Нуль-гипотеза, имеющая в данном раскладе тот смысл, что между выпускниками нет различия, при таком соот­ношении сдавших и несдавших подтвердилась бы. Однако в услови­ях этого исследования показано другое распределение. Количество выпускников 1-й школы, сдавших экзамены, составляет 82, а не 66,9, как можно было бы предположить, исходя из нуль-гипотезы. Соот­ветственно количество выпускников 2-й школы, сдавших экзамены, составляет в действительности всего 44, а не 58,9. Точно также, сравнивая количество несдавших (по условию с предполагаемым распределением) найдем по 1-й школе 18, а не 33, а по 2-й школе — 43, а не 28,1.

Расхождения между действительными распределениями и рас­пределениями, которые могли бы иметь место, если исходить из нуль-гипотез, налицо. Они-то и учитываются при вычислении x2. Все сказанное удобно представить в виде таблицы-графика распре­деления численностей (табл. 7). Количества, которые были бы по­лучены при принятии нуль-гипотезы, заключены в скобки. В правом углу буквенное обозначение клетки.

Таблица 7

Получены разности по клеткам (знак разности несущественен). Клетки:

А fA = 82—66,9= 15,1;

В fB = 18 — 33 = 15,0;

С fC = 44 — 58,9 = 14,9;

Д fD= 43—28,1= 14,9. Формула хи-квадрат:

где f0— наблюдаемые численности; fe — предполагаемые (теоре­тические) численности.

В рассмотренном материале x2 = 15,12/66,9 + 152/33 + 14,92/58,9 + 14,92/28,1= 288/66,9 + 225/33 + 222/58,9 + 222/28,1= 3,4 + 6,8 + 3,8 + 7,9 = 21,9

Для получения числа степеней свободы нужно воспользоваться формулой (только для хи-квадрат): fd = (k - 1)(с - 1) = (2 - 1) х (2 - 1) = 1 степень свободы, где k — число столбцов, с — число строк в таблице с анализируемым материалом.

Обратимся к таблице уровней значимости для одной степени свободы для хи-квадрат: x20,99 = 6,6. Следовательно, полученная величина вполне достаточна для отклонения h0. Есть все основания для содержательного вывода о различной степени подготовленности выпускников обеих школ к экзаменам в вузы.

Все вычисления, приводимые в этой главе, ведутся с точно­стью до первого знака, т.е. вычисляются целые и десятые. Этим объясняется та, в общем-то, несущественная разница при вычис­лениях одной и той же величины разными способами. Никакого практического значения встречающиеся расхождения в величи­нах не имеют.

Полезно знать, что коэффициент хи-квадрат и коэффициент че­тырехпольной корреляции взаимосвязаны и, поскольку известна численность и распределение сопоставляемых выборок, указанные коэффициенты могут быть определены один через другой.

Как показывает само название этого метода, числовой материал, подлежащий статистическому анализу, может быть распределен в таблице-графике, имеющей четыре поля. Такое расположение мате­риала облегчает все последующие действия с ним. Чтобы рассмот­реть технику вычисления коэффициента четырехпольной корреля­ции — он обозначается символом j (фи), — можно воспользовать­ся тем примером, где речь шла о вычислении коэффициента x2. Вы­пускники двух школ сравнивались между собой по подготовленно­сти к вузовским экзаменам.