x +70=x – столько стало кукол и машин после продажи вместе.

№412.

Из пункта А в пункт В со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист, а через полчаса вслед за ним выехал другой велосипедист, проезжавший в час 14 км и прибывший в пункт В одновременно с первым велосипедистом. Найдите расстояние между А и В.

Решение

Пусть 1ый велосипедист был в пути x ч, тогда второй велосипедист (x-0,5)ч. Скорость 1ого велосипедиста 12 км/ч, значит, расстояние, которое он прошел 12x км, а второй велосипедист 14(x-0,5) км. Т.к. прибыли они одновременно, то можно составить уравнение:

12x=14(x-0,5);

12x=14x-7;

2x=7;

x=3,5 часа 1ый велосипедист был в пути, тогда 2ой - был в пути 3 часа.

Расстояние которое они прошли от пункта А до пункта В составляет 42 км.

Ответ: расстояние 42 км.

Нулевой этап.

Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и был в пути x часов, через 30 минут из пункта А вышел 2ой пешеход и шел со скоростью 8 км/ч. Пришли в пункт В они одновременно.

Что обозначают выражения:

6x – расстояние, которое прошел 1 пешеход,

(x-0,5) – столько времени 2ой пешеход был в пути

8(x-0,5) – расстояние, которое прошел 2ой пешеход.

№413.

Лодка плыла 6 ч по течению реки, а затем 4 ч против течения. Найдите собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоячей воде), если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч, а всего лодкой пройдено расстояние 126 км.

Решение

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (x+3) км/ч (течение помогает), а против течения – со скоростью (x-3) км/ч (течение препятствует).

По течению реки лодка плыла 6 ч. За это время со скоростью (x+3) км/ч лодкой пройден путь 6(x+3) км.

Против течения лодка плыла 4 ч. За это время со скоростью (x-3) км/ч лодкой пройден путь 4(x-3) км.

По условию весь ее путь составил 126 км. Т.к. он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:

6(x+3)+4(x-2)=126,

6x+18+4x+8=126,

10x=116,

x=11,6 км/ч собственная скорость лодки.

Ответ: собственная скорость лодки 11,6 км/ч.

Нулевой этап:

Лодка плыла 3 ч по течению реки, а затем 2 ч против течения. Собственная скорость лодки x км/ч, скорость течения реки равна 1,5 км/ч, всего лодкой пройдено 63 км. Что обозначают следующие выражения:

(x+1,5) км/ч – скорость лодки по течению реки,

(x-1,5) км/ч – скорость лодки против течения реки,

3(x+1,5) км – путь, пройденный лодкой по течению реки,

2(x-1,5) км – путь, пройденный лодкой против течения реки,

3(x+1,5)+ 2(x-1,5) км – весь пройденный путь.

№414.

От поселка до станции велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 1 ч меньше. Найдите расстояние от поселка до станции.

Решение

Пусть x ч велосипедист был в пути от поселка до станции, тогда если он затратил на обратный путь на 1 ч меньше, то он был в пути (x-1) ч.

Т.к. он ехал туда со скоростью 10 км/ч , то он проехал 10x км, а обратно он ехал со скоростью 15 км/ч, тогда он проехал 15(x-1) км.

Т.к. путь туда и обратно был одинаковым, то мы можем записать уравнение:

10x=15(x-1);

10x=15x-15;

5x=15;

x=3 ч время которое он потратил на путь туда, а обратно он ехал на 1 ч быстрее, значит 2 часа.

Отсюда можно найти расстояние умножив 10 км/ч на 3 ч или 15 км/ч на 2 ч, получаем 30 км.

Ответ: расстояние 30 км.

Нулевой этап:

Из пункта А в пункт В мотоциклист проехал со скоростью 20 км/ч и потратил на весь путь x ч, а обратно ехал со скоростью 25 км/ч и затратил на обратный путь на 1 ч меньше. что обозначают эти выражения:

(x-1) ч – время, потраченное на обратный путь,

20x км – путь туда,

25(x-1) км – путь обратно,

20x=25(x-1) км – путь туда и обратно.

№1135

Для учащихся приобрели футбольные и волейбольные мячи, причем волейбольных в 5 раз больше, чем футбольных. На следующий год приобрели новую партию мячей, причем футбольных стало в 6 раз больше, чем было, волейбольных – в 4 раза больше, чем было, а всего мячей стало 52. Сколько мячей закупили в первый год?

Решение

Пусть x – число футбольных мячей, приобретенных в первый год, а y – число волейбольных мячей, приобретенных в первый год. По условию задачи y=5x.

Далее, на второй год футбольных мячей приобрели в 6 раз больше и их стало 6x, а волейбольных мячей приобрели в 4 раза больше и их стало 4y. По условию всего стало 52 мяча, т.е. 6x+4y=52. Итак наша математическая модель готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными x и y:

,

Подставляем первое уравнение во второе, получаем

6x+20x=52,

26x=52,

x=2, т.е. 2 футбольных мяча закупили в первый год, тогда волейбольных мячей закупили10 штук. Вопрос задачи : сколько мячей закупили в первый год?

Ответ: 12 мячей.

Нулевой этап.

Света и Гоша посадили на балконе цветы. Света в первый раз посадила x цветков, Гоша y цветков, у Гоши цветов получилось в 3 раза больше, чем у Светы. Во второй раз Света посадила в 2 раза больше, чем было, а Гоша в 5 раз больше, чем было. Всего они посадили 34 цветка.

Что обозначают следующие выражения:

y=3x – во столько раз число цветов у Гоши было больше цветов Светы в первый раз,

2x – столько цветов стало у Светы,

5y – столько цветов стало у Гоши,

15x – столько цветов стало у Гоши,

2x+15x –общее количество цветов у детей и оно равно 34.

8 класс

№893

Из пункта А в пункт В, удаленный от А на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и поэтому прибыл в пункт в пункт В с опозданием на 30 минут. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Решение

Пусть x км/ч – скорость автобуса по расписанию. Так как расстояние от А до В равно 100 км, то время отведенное на данное расстояние составляет ч.

Фактически автобус прошел расстояние в 100 км со скоростью км/ч, значит время затраченное на прохождение пути, равно ч.

Из двух величин ч и ч вторая больше первой на 30 минут, т.е. на ч. Значит, мы приходим к уравнению

- это рациональное уравнение,

,

Преобразуем левую часть уравнения

,