Например, №593.

В одном бидоне x л, а в другом – y л молока.

а) что означают выражения ?

б) что означают равенства ?

Эта задача предварительного этапа, затем следует задача №594:

В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. когда из одного бидона перелили в другой 5 литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров было в каждом бидоне первоначально?

Решите задачу алгебраическим способом.

Решение.

Пусть x л – количество молока, которое было до переливания во втором бидоне. Тогда в первом бидоне его было 3x л.

После переливания в первом бидоне осталось (3x-5) л молока, а во втором стало (x+5) л.

Поскольку после переливания в обоих бидонах молока стало поровну, можно составить уравнение:

3x-5=x+5.

Учитель сообщает, что эту часть рассуждений при решении задачи называют составлением математической модели. На этом этапе переводят текст задачи с обыденного языка на математический язык. В результате получают математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Такой математической моделью и является составленное уравнение. После этого приступают ко второму этапу, который называют работой с математической моделью. На этом этапе нам надо решить составленное уравнение 3x-5=x+5.

Решение (учащиеся выполняют самостоятельно):

3x-x=5+5,

2x=10,

x=5.

Уравнение решено, теперь надо приступить к третьему этапу – ответу на вопрос задачи: сколько литров было в каждом бидоне первоначально?

Мы получили x=5, а за x было принято количество молока (в литрах), которое было во втором бидоне. Итак, во втором бидоне было 5 л молока. По условию задачи, в первом бидоне молока было в 3 раза больше, значит, в первом бидоне было 15 л молока.

Ответ: в одном бидоне было 5 л, а в другом – 15 л молока.

После этого в 7 классе повторяются этапы математического моделирования и они уже к этому подготовлены, но тем не менее нулевой этап своей актуальности не теряет, т.к. появляются более сложные задачи.

Рассмотрим задачник математика «Алгебра, 7» авторов Мордковича А.Г. и др. и составим к задачам, данным в этом учебнике, упражнения подводящие к их решению.

№95

Расстояние между городами мотоциклист проехал за 2 часа, а велосипедист – за 5 часов. Скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста. найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами.

Решение.

Т.к. скорости велосипедиста и мотоциклиста неизвестны, то мы можем взять за x – скорость мотоциклиста, а скорость велосипедиста – (x-18). Мотоциклист двигался в течение 2-х часов со скоростью x км/ч, а велосипедист – 5 ч со скоростью (x-18) км/ч. Зная, что велосипедист и мотоциклист преодолели одно и то же расстояние, составим уравнение:

2x=5(x-18),

3x=90,

x=30 км/ч скорость М.,

30-18=12 км/ч скорость В.

Ответ: За 2 часа мотоциклист и за 5 ч велосипедист пройдут путь в 60 км.

Но перед тем как решать эту задачу можно рассмотреть другие задачи, направленные на подготовку к ее решению:

Пешеход идет со скоростью x км/ч, велосипедист на 10 км/ч быстрее. Расстояние от точки А до точки В пешеход преодолел за 3 ч, а велосипедист за 1 час.

Что обозначают выражения:

(x+10) – скорость велосипедиста;

3x – расстояние, которое прошел пешеход за 3 часа;

Что обозначает равенство:

3x=x+10 – пешеход и велосипедист преодолели одинаковое расстояние.

№96.

В одном доме на 86 квартир больше, чем в другом. Сколько квартир в каждом доме, если в двух домах 792 квартиры?

Решение

1 дом – x кв.

2 дом – (x+86)кв.

Всего 792 кв.

x+x+86=792,

2x=706,

x=353 кв. в 1 доме, 439 кв. во 2 доме.

Задача нулевого этапа.

В одной деревне x домов, а в другой на 112 домов больше. Всего в двух деревнях 504 дома. Что обозначают выражения и равенства:

x+112 – столько домов во второй деревне;

2x+112 - столько домов в двух деревнях;

2x+112=504 – всего в двух деревнях 504 дома.

№97.

В жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трехкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных?

Решение

Пусть x – число трехкомнатных квартир, тогда

число однокомнатных кв. – (x-5),

число двухкомнатных – (x+10),

Составим уравнение:

x+x-5+x+10=215,

3x=210,

Ответ: x=70 кв. трехкомнатных, 80 кв. – двухкомнатных, 65 кв. – однокомнатных.

Нулевой этап: на огороде выросло всего 220 кг овощей. Картошки – x кг, капусты на 10 кг меньше, свеклы на 15 кг больше. Что означают выражения и равенства:

x+15 – количество кг свеклы;

x-10 – количество кг капусты;

x+15+x-10 – количество кг свеклы и капусты;

x+x+15 – количество кг картошки и свеклы;

x+x-10 – количество кг картошки и капусты;

x+x+15+x-10=220 – сколько всего кг овощей выросло на огороде.

№98.

В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?

Малый зал – x мест, большой зал – 3x мест.

Решение

Составим уравнение:

x+3x=460,

4x=460,

x=115 мест в малом зале,

115×3=345 мест в большом зале.

Ответ 345 мест в большом зале.

Нулевой этап к этой задаче.

В двух книгах 580 страниц. В одной книге x страниц, а в другой книге – в 3 раза больше. Что обозначают эти выражения:

3x – страниц в во второй книге,

x+3x – число страниц в двух книгах,

x+3x=580 – уравнение из которого следует, что в двух книгах 580 страниц.

№309.

В магазин завезли апельсины и бананы, причем бананов в 3 раза больше. Когда продали половину бананов и 2/3 апельсинов, оказалось, что бананов осталось на 70 кг больше, чем апельсинов. Сколько бананов и апельсинов завезли в магазин?

Пусть в магазин завезли x кг апельсинов, тогда бананов – 3x кг. После продажи апельсинов стало 2/3x кг, а бананов – 3/2x кг. Но бананов осталось на 70 кг больше, чем апельсинов.

Решение

Составляем уравнение:

x+70=x,

4x-9x+420=0,

5x=420,

x=84 кг апельсинов завезли в магазин.

Бананов в 3 раза больше, значит, 84×3=252 кг бананов завезли в магазин.

Ответ: 252 кг бананов завезли в магазин.

Нулевой этап.

В игрушечный магазин завезли x штук машин, а кукол в 3 раза больше. Когда продали половину кукол и 2/3 машин, оказалось, что кукол осталось на 70 больше, чем машин.

Что значат выражения:

3x – столько кукол завезли в магазин,

x – осталось машинок после продажи,

x – осталось кукол после продажи,

x +70 – на столько больше осталось кукол, чем машин,