б) три розы дороже пяти хризантем на 50 р.: ответ ;

в) стоимость букета из семи хризантем меньше трехсот рублей: ответ ;

г) стоимость букета из семи роз больше трехсот рублей: ответ .

§17. Математическая модель

С целью дальнейшего формирования представлений о том, что с помощью одной и той же математической модели могут быть описаны различные с обыденной точки зрения ситуации, учащимся предлагаются следующие задачи.

№273.

Расстояние 180 км легковой автомобиль может преодолеть за 2 ч, а грузовому автомобилю на то же расстояние требуется 3 ч. Через какое время они смогут встретиться, если выедут навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 300 км?

Решение

180 км легковой автомобиль - за 2 ч, значит за 1 ч – 90 км. 180 км грузовой автомобиль – за 3 ч, значит за 1 ч – 60км.

300÷(90+60)= через 2 ч автомобили встретятся.

Ответ: через 2 часа.

№274

Одной бригаде трактористов, чтобы вспахать 180 а, требуется 2 дня, а другой – 3 дня. За какое время эти бригады смогут вспахать 300 а, работая одновременно?

Решение

300÷(180÷2+180÷3)=за 2 ч эти бригады могут вспахать 300 а.

Ответ: за 2 часа.

Для решения этих двух задач требуется найти значение одного и того же числового выражения: 300÷(180÷2+180÷3). Но это не является для учеников чем-то совершенно новым и необычным. Они уже сталкивались с тем, что на математическом языке различные с точки зрения обыденной жизни ситуации описываются совершенно одинаково.

В учебнике рассказывается о том, что полученное в процессе решения выражение – это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче. В первой задаче рассматривается встречное движение, во второй – совместная работа, и обе эти ситуации описываются одинаковыми математическими моделями.

Ученики, выполняя задания из предыдущих пунктов по «переводу» обычной речи на математический язык каждый раз составляли математическую модель данной ситуации.

§27. Определение угла. Развернутый угол.

№509

Прочитайте задачу. Постарайтесь найти разные способы решения.

В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.

Проверьте так ли вы решали задачу:

1 способ.

Если из первой коробки достать 4 кг печенья, то в обеих коробках печенья станет поровну, а всего останется 16-4=12 кг – печенья. Тогда в каждой коробке будет 12÷2=6 кг печенья. Но это как раз та масса печенья, которая была во второй коробке: 6+4=10 кг.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.

2 способ.

Если во вторую коробку добавить 4 кг печенья, то в обеих коробках печенья станет поровну, а всего в двух коробках станет 16+4=20 кг печенья. Тогда в каждой коробке станет 20÷2=10 кг печенья. Но это как раз та масса печенья, которая была в первой коробке. Теперь можем узнать массу печенья во второй коробке: 10-4=6кг.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.

3 способ.

Обозначим массу печенья во второй коробке буквой x кг.

Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (x+4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((x+4)+x) кг.

Но, по условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Значит, можем составить уравнение

(x+4)+x=16.

Решив его получаем x=6.

Итак, мы получили, что во второй коробке было 6 кг печенья, значит, в первой было 6+4=10 кг печенья.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.

4 способ.

Обозначим массу печенья в первой коробке буквой x кг.

Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (x-4) кг, а масса печенья в двух коробках – (x+(x-4)) кг.

По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Составим уравнение

x+(x-4)=16.

Отсюда x=10.

Итак, мы получили, что в первой коробке было 10 кг печенья, значит, во второй было 10-4=6 кг печенья.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.

3 и 4 способы решения задачи – это один и тот же способ: алгебраический. Решая задачу алгебраическим способом, обозначают неизвестную величину буквой, составляют уравнение по условию задачи и решают его.

№510.

С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на ц больше, чем с каждого из первых двух. Сколько картофеля собрали с каждого участка?

Всего 156 ц

1 способ.

Если на двух первых полях количество собранного картофеля одинаковое, на третьем на 12 ц больше, то мы можем из общей суммы 156 ц вычесть 12ц, чтобы получить количество картофеля на трех полях 156-12=144 ц картофеля на трех полях. А теперь мы можем 144÷3=48 ц картофеля собрали с первого и второго поля, а с третьего поля собрали 48+12=60 ц картофеля.

Ответ: с первого и второго поля собрали по 48 ц картофеля, а с третьего поля собрали 60 ц картофеля.

2 способ.

Обозначим количество картофеля собранного с первого поля буквой x ц. Тогда со второго собрали тоже x ц картофеля, а с третьего поля собрали картофеля на 12 больше, значит обозначим (x+12) ц. Количество собранного картофеля с трех полей x+x+(x+12).

По условию задачи с трех полей собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение

x+x+(x+12)=156.

Отсюда 3x=144, а x =48.

Итак, мы получили, что с первого и второго полей собрали по 48 ц картофеля, а с третьего 48+12=60 ц картофеля.

Ответ: с первого и второго поля собрали по 48 ц картофеля, а с третьего поля собрали 60 ц картофеля.

В следующих задачах уровень сложности повышается.

№544.

1) Решите задачу.

На первом элеваторе зерна в три раза больше, чем на втором. Если с первого элеватора вывезти 850 т, а со второго – 150 т, то на обоих элеваторах зерна останется поровну. Какое количество зерна было на первом элеваторе?

Если вы догадались составить к задаче такую схему, то возможно, вы смогли решить ее устно: