для времени:

Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

•> или:

i

откуда для наиболее общего случая нестационарного полядифференциальное

уравнение неразрывности запишется в следующем виде:

и для частного случая - стационарного поля:

«

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем ви­де:

?

3.4 Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - Г и 2 - 2' малый отсек жидкости длиной dl. Объём жидкости внутри выделенного отсека

Масса жидкости, вошедшая в элементарную трубку тока за временной интервал dt, будет равна:

Масса жидкости, вытекшая за это же время через противоположное сечение от­сека:

1 В данном разделе для удобства записи вместо принятых ранее обозначений площади сечения элементар­ной струйки жидкости dS и элементарного расхода жидкости dQ используются обозначения: S и Q.

За тот же интервал времени масса жидкости внутри отсека изменится на величину:

^ * откуда

*

Окончательно формула может быть представлена в виде

При установившемся движении жидкости (р = const) уравнение неразрывности при­мет вид:

3.5 Элементы кинематики вихревого движения жидкости

Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вы­званное вращением элементарного объёма жидкости вокруг некоторой оси Такое враще­ние жидкости называется вихрем; угловая скорость этого элементарного объёма является основной характеристикой вихря Касательная в любой точке вектора вихря - вихревая линия Поверхность образованная вихревыми линиями, проведенными через точки замк­нутого контура, называется вихревой трубкой Прямолинейную вихревую трубку с беско­нечно малой площадью сечения можно рассматривать как вращающийся твердый ци­линдр, окружная скорость которого пропорциональна радиусу. Кинематической характе­ристикой вихревого течения жидкости является циркуляция скорости, которая служит ме­рой завихренности. '

5

где: Г - циркуляция вектора скорости,

- проекция вектора скорости на касательную к этому контуру в i-той точ-

ке

- элемент длины контура

В тех случаях, когда вращение жидкости в определённых точках пространства про­исходит с постоянной скоростью и положение вихря с течением времени не меняется, то такое вихревое движение принято называть стационарным вихрем В иных случаях вихре­вое движение следует считать не стационарным.

3.6. Поток жидкости

Поток жидкости представляет собой совокупность элементарных струек жидкости. По этой причине основные кинематические характеристики потока во многом совпадают по своему смыслу с аналогичными характеристиками для элементарной струйки жидко­сти. Тем не менее, различия всё же имеются. Так в отличие от элементарной струйки, ко­торая отделена от остальной жидкости поверхностью трубки тока, образованной линиями тока, поток жидкости имеет реальные границы в виде твёрдой среды, газообразной или жидкой сред. По типу границ потоки можно разделить на следующие виды:

напорные, когда поток ограничен твёрдой средой по всему периметру сече­ния,

безнапорные, когда часть сечения потока представляет собой свободную по­верхность жидкости,

гидравлические струи, когда поток ограничен только жидкой или газообраз­ной средой. Если гидравлическая струя ограничена со всех сторон жидко­стью, то она называется затопленной гидравлической струёй, если гидравли­ческая струя ограничена со всех сторон газовой средой, то такая струя назы­вается незатопленной.

Поперечное сечение потока, расположенное нормально к линиям тока, называется живым сечением потока. Площадь живого сечения потока определяется соотношением:

Расход жидкости в потоке определяется как отношение объёма жидкости протекаю­щее через живое сечение потока к интервалу времени или определяется следующим соот­ношением:

Кроме известной размерности расхода в системе СИ м3/с имеется целый набор вне­системных единиц для измерения расхода жидкости в потоке: м3/сут, л/чс, л/с, и др.

Средней скоростью в живом сечении потока называ­ется величина:

Смоченным периметром живого сечения потока П называется часть контура живого сечения потока, которая ограничена твёрдой средой. (На рисунке смоченный пери­ метр выделен жирной линией).

Отношение площади живого сечения потока к длине

смоченного периметра называется гидравлическим радиусом живого сечения.

Величина гидравлического радиуса круглого сечения радиуса г:

равна половине величины его геометрического радиуса. Величина гидравлического радиуса трубы квадратного сечения со стороной а, (полностью заполненной жидкостью)

равна

4. Динамика идеальной жидкости

4.1. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при устано­вившемся движении) и его интегрирование

Для вывода уравнения движения жидкости обратимся к записанному ранее уравне­нию равновесия жидкости (в проекциях на координатные оси), иначе говоря: . Поскольку в идеальной жидкости никаких сосредоточенных сил действовать не может, то последнее уравнение чисто условное. Когда равнодейст­вующая отлична от 0, то жидкость начнёт двигаться с некоторой скоро­стью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона, частицы жидкости, состав­ляющие жидкое тело получат ускорение.