В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.

Отсюда:

В центре на оси вращения, на расстоянии от дна сосуда будет расположена

самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.

Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения (кривая АОВ-парабола).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в част­ности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда, на­клоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же, что подтвер­ждает универсальность формулы основного урав­нения гидростатики.

2.4. Дифференциальное уравнение равнове­сия жидкости

После рассмотрения некоторых частных слу­чаев равновесия жидкости рассмотрим общее диф­ ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели выделим отсек жидкости малых раз­меров в виде параллелепипеда. Масса жидкости в выделенном объёме:

На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и правую грани соответственно):. На переднюю и заднюю грани: , на нижнюю

и верхнюю грани:

Поскольку давление на правую грань больше, то i

По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.

на переднюю , на заднюю , на нижнюю

, на верхнюю Проекции массовых сил на координатные оси:

на ось ОХ будет на ось ОУ будет

на ось OZ будет Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:

сумма сил действующих вдоль оси 07:

сумма сил действующих вдоль оси OZ:

где:, проекции ускорения массовых сил на координатные оси.

После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости:

i i >

2.5. Сообщающиеся сосуды

В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами равно­весия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В соединены между со­бой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в различных гидравличе­ских машинах (гидравлические прессы и др.), системах гидропривода и гидроавтоматики, различных измери­тельных приборах и в ряде других случаев. С природ­ ными сообщающимися сосудами человек встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших раз­меров являются водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль отдельных колен природной гидродинамической системы.

В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свобод­ный уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах. Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах устанавливаются на разных высо­тах в зависимости от соотношения плотностей жидкостей.

Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.

или:

В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

2.6. Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в жид­кость

Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется глу­биной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и величиной

плотности жидкости р.

Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках этой поверхно­сти, т.к.:

Отсюда:

Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно сосу­да) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на глубине по­гружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый «гидравлический пара­докс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к. площади доньев у всех сосудов оди­наковы, одинаковы и величины давлений.

Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость. Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка сосуда. Для вывода урав-

нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной поверхности жидкости с на­клонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ будет выступать сама наклонная стенка. На плос­кости стенки выделим малую площадку, которую, в связи с малыми размерами можем считать горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна: