функция энергии должна удовлетворять двум требованиям: во-первых, должна быть малой только для тех решений, которые имеют по одной единице в каждой строке и каждом столбце; во-вторых, должна оказывать предпочтение решениям с короткой длиной маршрута. Первое требование удовлетворяется введением следующей, состоящей из трех сумм, функции энергии:

(6.9)

где А, В и С- некоторые константы. Этим достигается выполнение следующих условий:

1. Первая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждая строка (город) содержит не более одной единицы.

2. Вторая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждый столбец (порядковый номер посещения) содержит не более одной единицы.

3. Третья сумма равна нулю в том и только в том случае, если матрица содержит ровно п единиц.

Второе требование - предпочтение коротким маршру­там - удовлетворяется с помощью добавления следующего члена к функции энергии:

(6.10)

Заметим, что этот член представляет собой длину любого допустимого маршрута. Для удобства индексы опре­деляются по модулю п, т.е. OUTn+j = OUTj, a D - некото­рая константа. При достаточно больших значениях А, В и С низко­энергетические состояния будут представлять допустимые маршруты, а большие значения D гарантируют, что будет найден короткий маршрут. Теперь зададим значения весов, т.е. установим соответствие между членами в функции энергии и членами общей формы (см. уравнение 6.2)).

Получаем

Wxi,yi = -Alxy (1-lij) - Blij (1- lxy ) - C - Dlxy(lj,i+1 + lj,i-1)

где lij = 1, если i = j, в противном случае lij = 0. Кроме того, каждый нейрон имеет смещающий вес хi, со­единенный с +1 и равный Сп. В работе [8] сообщается об эксперименте, в кото­ром задача коммивояжера была решена для 10 городов. В этом случае возбуждающая функция была равна

OUT = 1/ 2[1 + th(NET/ u0)].

Как показали результаты, 16 и 20 прогонов сошлись к допустимому маршруту и около 50% решений оказались крат­чайшими маршрутами, как это было установлено с помощью полного перебора. Этот результат станет более впечатля­ющим, если осознать, что имеется 181440 допустимых маршрутов. Сообщалось, что сходимость решений, полученных по методу Хопфилда для задачи коммивояжера, в сильной степени зависит от коэффициентов, и не имеется система­тического метода определения их значений [II]. В этой работе предложена другая функция энергии с единственным коэффициентом, значение которого легко определяется. В дополнение предложен новый сходящийся алгоритм. Можно ожидать, что новые более совершенные методы будут раз­рабатываться, так как полностью удовлетворительное решение нашло бы массу применений.

ОБСУЖДЕНИЕ

Локальные минимумы

Сеть, выполняющая аналого-цифровое преобразование, всегда находит единственное оптимальное решение. Это обусловлено простой природой поверхности энергии в этой задаче. В задаче коммивояжера поверхность энергии силь­но изрезана, изобилует склонами, долинами и локальными минимумами и нет гарантии, что будет найдено глобальное оптимальное решение и что полученное решение будет допустимым. При этом возникают серьезные вопросы относи­тельно надежности сети и доверия к ее решениям. Эти недостатки сети смягчаются тем обстоятельством, что нахождение глобальных минимумов для NP-полных задач является очень трудной задачей, которая не может быть решена в приемлемое время никаким другим методом. Дру­гие методы значительно более медленны и дают не лучшие результаты.

Скорость

Способность сети быстро производить вычисления является ее главным достоинством. Она обусловлена высо­кой степенью распараллеливания вычислительного процес­са. Если сеть реализована на аналоговой электронике, то решение редко занимает промежуток времени, больший не­скольких постоянных времени сети. Более того, время сходимости слабо зависит от размерности задачи. Это резко контрастирует с более чем экспоненциальным ростом времени решения при использовании обычных подходов. Моделирование с помощью однопроцессорных систем не позволяет использовать преимущества параллельной архите­ктуры, но современные мультипроцессорные системы типа Connection Machine (65536 процессоров!) весьма много­обещающи для решения трудных задач.

Функция энергии

Определение функции энергии сети в зависимости от . задачи не является тривиальным. Существующие решения были получены с помощью изобретательности, математичес­кого опыта и таланта, которые не разбросаны в изобилии. Для некоторых задач существуют систематические методы нахождения весов сети. Эти методы излагаются в гл. 7.

Емкость сети

Актуальным предметом исследований является макси­мальное количество запоминаемой информации, которое может храниться в сети Хопфилда. Так как сеть из N двоичных нейронов может иметь 2n состояний, то исследо­ватели были удивлены, обнаружив, что максимальная ем­кость памяти оказалась значительно меньшей. Если бы могло запоминаться большое количество информационных единиц, то сеть не стабилизировалась бы на некоторых из них. Более того, она могла бы помнить то, чему ее не учили, т.е. могла стабилизироваться на решении, не являющемся требуемым вектором. Эти свойства ставили в тупик первых исследователей, которые не имели математических методов для предварительной оценки емко­сти памяти сети. Последние исследования пролили свет на эту пробле­му. Например, предполагалось, что максимальное коли­чество запоминаемой информации, которое может хранить­ся в сети из N нейронов и безошибочно извлекаться, меньше чем cN2, где с - положительная константа, боль­шая единицы. Хотя этот предел и достигается в некоторых случаях, в общем случае он оказался слишком оптимисти­ческим. В работе [4] было экспериментально показано, что в общем случае предельное значение емкости ближе к 0,15N. В работе [1] было показано, что число таких состояний не может превышать N, что согласуется с на­блюдениями над реальными системами и является наилучшей на сегодняшний день оценкой.

ВЫВОДЫ

Сети с обратными связями являются перспективным объектом для дальнейших исследований. Их динамическое поведение открывает новые интересные возможности и ставит специфические проблемы. Как отмечается в гл. 9, эти возможности и проблемы сохраняются при реализации нейронных сетей в виде оптических систем.

Глава 7 Двунаправленная ассоциативная память

Память человека часто является ассоциативной; один предмет напоминает нам о другом, а этот другой о треть­ем. Если позволить нашим мыслям, они будут перемещаться от предмета к предмету по цепочке умственных ассоци­аций. Кроме того, возможно использование способности к ассоциациям для восстановления забытых образов. Если мы забыли, где оставили свои очки, то пытаемся вспомнить, где видели их в последний раз, с кем разговаривали и что делали. Посредством этого устанавливается конец цепочки ассоциаций, что позволяет нашей памяти соеди­нять ассоциации для получения требуемого образа. Ассоциативная память, рассмотренная в гл. 6, явля­ется, строго говоря, автоассоциативной, это означает, что образ может быть завершен или исправлен, но не может быть ассоциирован с другим образом. Данный факт является результатом одноуровневой структуры ассоциа­тивной памяти, в которой вектор появляется на выходе тех же нейронов, на которые поступает входной вектор. Двунаправленная ассоциативная память (ДАП) являет­ся гетероассоциативной; входной вектор поступает на один набор нейронов, а соответствующий выходной вектор вырабатывается на другом наборе нейронов. Как и сеть Хопфилда, ДАП способна к обобщению, вырабатывая пра­вильные реакции, несмотря на искаженные входы. Кроме того, могут быть реализованы адаптивные версии ДАП, выделяющие эталонный образ из зашумленных экземпляров. Эти возможности сильно напоминают процесс мышления человека и позволяют искусственным нейронным сетям сделать шаг в направлении моделирования мозга. В последних публикациях [9,12] представлено не­сколько форм реализации двунаправленной ассоциативной памяти. Как большинство важных идей, изложенные в этих работах идеи имеют глубокие корни; например, в работе Гроссберга [6] представлены некоторые важные для ДАП концепции. В данной работе ссылки приводятся не с целью разрешения вопроса о приоритете исследовательских работ, а исключительно для освещения их вклада в исследовательскую тематику.