При этом ударный импульс

.

Если же , то напряжение в точке контакта исчезнет раньше, чем ударная волна пройдет стрежень в обоих направлениях. Этот момент и определит окончание удара. При этом ,

.

Итак, продолжительность контакта при ударе о пол имеет значение , а при ударе о потолок либо , либо .

§4. Падение шара на плоскость

Предположим, что шар, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром, падает вертикально на горизонтальную поверхность с высоты h1. В момент соприкосновения с плоскостью он имеет скорость

.

при этом импульс шара был направлен вниз и имел значение

,

а кинетическая энергия его в момент удара

.

Во время удара между шаром и плоскостью действуют упругие силы. Из-за реакции плоскости движению шара его импульс и кинетическая энергия быстро уменьшаются до нуля. При этом кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругих сил материала плоскости и шара вблизи места соприкосновения. Упругие силы материалов шара и плоскости стремясь восстановить нормальный объем материала отталкивают шар и плоскость друг от друга. При этом потенциальная энергия упругих сил снова превращается в кинетическую энергию шара. Шар отскакивает вверх с некоторой начальной скоростью и поднимется на высоту

.

За время скорость шара изменяется на величину

,

а его импульс на величину

.

Отношение кинетических энергий после и до удара обозначается через :

, .

Величина К называется коэффициентом удара (или импульса), а величина К2 – коэффициентом восстановления энергии.

Коэффициент К может быть определен непосредственно и опыта. Для этого достаточно знать высоты h1 и h2.

Если шар ударяется о плоскость двигаясь под некоторым углом к ее нормали, то скорость его движения можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие. Если предположить, что поверхности шара и плоскости абсолютно гладкие, то до и после удара , т.е. одинаковы. Нормальная же составляющая скорости, как и при нормальном падении, изменит свой знак и может изменить свою величину, если К не равно единица, т.е.

.

Если обозначить через и углы, образуемые движением шара с нормалью к плоскости до и после удара, то

,

и, следовательно, .

Угол падения равен углу отражения только в том случае, когда коэффициент К=1.

Глава 3. Пространственное соударение двух свободных твердых тел

§1. Соударение упругих шаров

Пусть два шара, имеющие массы m1 и m2 и скорости и во время своего движения приближаются друг к другу на расстояние, равное сумме их радиусов. Если их скорости окажутся не параллельными касательной плоскости в точке соприкосновения шаров, то произойдет удар. После удара скорости шаров могут оказаться иными и по величине и по направлению. Обозначим после соударения скорости шаров через и соответственно. Будем считать, что поверхности шаров абсолютно гладкие.

Тангенциальные составляющие скоростей шаров при ударе гладких шаров не изменятся, т.е.

, .

Нормальные же составляющие могут измениться, т.е.

, .

При столкновении шаров явление удара протекает в две фазы: в течение первой фазы шары сжимаются до тех пор, пока нормальные составляющие не станут равными некоторому значению ; после этого начинается вторая фаза удара, в течение которой вследствие упругости происходит восстановление первоначальной формы шаров (при этом скорость одного шара увеличивается, а другого - уменьшается). Явление удара заканчивается в тот момент, когда шары отделяются друг от друга, имея неравные значения нормальных составляющих скоростей. Ударный импульс за первую фазу обозначим через I, а за вторую фазу через . Тогда будем иметь

.

Применяя теорему о проекции количества движения на нормаль к обеим фазам удара, получим четыре уравнения (по два для каждого шара):

.

На основе этих пяти уравнений находим, что

,