.

Требование 1 выполнятся для всех точек того полупространства, ограниченного плоскостью наибольшего сжатия, которое не содержит начала координат О.

Через точку проходит прямая, в точках которой относительная скорость параллельна вектору . Эта прямая задается уравнением

.

Для анализа условия 2 применим формулу Кельвина к каждому телу

, .

Отсюда находим, что при соударении двух твердых тел

.

Поскольку , то имеем, что

.

Так как матрица В положительно определена и симметрична, то последнее равенство описывает внутренность эллипсоида с центом в точке .

Следовательно, область физически допустимых значений ударного импульса представляет собой половину эллипсоида (заштрихованная часть).

Существует бесконечное множество , каждый из которых определяет непротиворечивых решений задачи о соударении двух твердых тел. Для определенности надо принять некоторые дополнительные предположения о характере ударных реакций. Одним из таких предположений является их ортогональность к поверхностям соударяемых тел. В этом случае мы будем говорить, что трение при ударе отсутствует. Данное допущение оправдано, например, при прямом ударе двух шаров, а также при произвольном соударении тел любой формы, имеющих абсолютно гладкие поверхности.

Удар без трения изображается отрезком прямой, выходящему из начала координат параллельно вектору :

,

где - монотонно возрастающая неотрицательная функция, равная нулю при . Эта прямая пересекает плоскость наибольшего сжатия в точке О1 при значении , определяемых из уравнения

,

при этом изменение кинетической энергии системы двух тел

.

Следовательно, точка О1 лежит внутри эллипсоида энергии и существует отрезком прямой , соответствующий допустимым значениям ударного импульса. Значения определяется условием . При этом .

Ударный импульс еще нельзя определить однозначно. Неопределенность можно легко устранить, принимая гипотезу Ньютона о двух фазах удара. В применении к пространственному удару она выражается в постоянстве отношения нормальный составляющих относительной скорости до и после удара:

.

Промежуток соответствует значению ньютоновского коэффициента восстановления К от нуля до единицы. Двум предельным случаям удара без трения: , когда (пластический удар) и , когда (упругий удар), отвечают значения К = 0 и К = 1 соответственно. В общем случае, каждому значению коэффициента К из промежутка соответствует вполне определенное, физически непротиворечивое решение задачи о соударении двух твердых тел без трения.

Литература.

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т2. – М.: Физматиз, 1960. – 487с

2. Даламбер Ж. Динамика – М., Л.: Гостехиздат, 1950. – 343 с.

3. Голденит В. Удар. Теория и физические свойства соударямых тел. – М.: Строиздат, 1965. – 448 с.

4. Воронков И.М. Курс теоретичекой механики – М.: Физматиз, 1961. – 569 с.

5. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. – М.: Международная программа образования, 1997. – 336 с.

6. Эйхевальд А.а. Теоретическая физика. Ч.III. Механика твердого тела. – М., Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1931. – 220 с.

7. Сахарный Н.Ф. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1964. – 844 с.