.

При этом ударный импульс равен приращению количества движения частицы.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из k материальных точек с массами (i = 1, 2, 3 …, k). На каждую из них действуют некоторые внешние силы , а также внутренние силы , отражающие попарные взаимодействие. По третьему закону Ньютона . Если на i-ю частицу системы действует ударная сила , то ее движение описывается уравнением:

,

где .

При последнее уравнение принимает вид:

,

где - ударный импульс силы ; - ударный импульс реакций, обусловленный взаимодействием частиц системы.

Нужно различать основные типы взаимодействия частиц системы. «Мягкие» типы взаимодействия допускают относительные перемещения материальных течек, которые сопровождаются плавным изменением соответствующих внутренних силы . «Жесткие» взаимодействия характеризуются возникновением значительных усилий при попытке изменения конфигурации системы.

В качестве примера рассмотрим систему из двух частиц. Вначале будем считать, что они соединены пружинкой пренебрежимо малой массы. В этом случае внутренняя сила направлена вдоль прямой, проходящей через обе точки, а ее величина является линейной функцией расстояния между ними

,

где с – жесткость пружины, d – ее длина в ненапряженном состоянии, х1 и х2 – координаты частиц.

Пусть в начальный момент система находится в равновесии и к точке прикладывается ударная сила течение времени . В этом случае

.

При этом начальное значение переменных задается равенствами:

.

На интервале решение системы уравнений имеет вид:

,

где

К моменту окончания удара координаты получают приращение порядка , а для скорости имеем такие выражения:

Отсюда следует, что при

Это соответствует мягкому взаимодействию точек системы по отношению к данному удару. В случае имеем:

,

т.е. скорости обеих точек после удара одинаковы.

Если частицы соединены при помощи невесомого стрежня неизменной длины d, то в каждый момент времени . При таком соединении частиц находим, что

; .

Рассмотренный пример демонстрирует относительность понятий жесткого и мягкого взаимодействия точек системы. Одна и та же упругая связь может приобретать и мягкий, и жесткий характер в зависимости от длительности воздействия удара. Выделение мягких и жестких связей облегчает решение уравнений удара:

.

Для первого типа , связи второго типа устанавливают взаимосвязь скоростей и . Однако, два эти случая являются предельными, и, естественно, не исчерпывают всех возможностей. Это соображение особенно следует учитывать при исследования соударения твердых тел с закрепленными точками.

§2. Общие теории динамики в применении к импульсному движению

1. Количеством движения системы материальных точке Аi с массами mi (i = 1,2,3…,k) называют векторную сумму

.

Под действием ударных сил количество движения системы испытывает изменение:

Вследствие антисимметрии внутренних сил (=) сумма всех внутренних импульсов равна нулю, т.е.

.

Поэтому теорема о изменении количества движения системы под действие ударных сил выражается формулой

и читается так: изменение количества движения системы при ударе равно сумме всех внешних ударных импульсов и не зависит от характера внутренних сил.

Данную теорему часто используют в несколько иной формулировке, как теорему об импульсивном движении центра масс. Для этого количество движения системы записывают так:

,

где М – масса всей системы; - скорость ее центра масс. Положение центра масс определяется радиус-вектором

.