При таком походе теорема о количестве движения системы читается так: изменение количества движения центра масс будет таким же, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы и были бы к нему непосредственно приложены все внешние удары.

2. Кинетическим моментом системы материальных точек относительно некоторой неподвижной точки О называется векторная величина

,

где - радиус-вектор проведенный из точки О к частице массой mi. Моментом количества движения системы относительно неподвижной оси называется проекция кинетического момента, вычисленного относительно некоторой точки оси, на эту ось.

Вычислим изменение кинетического момента под действие ударных сил. В этом случае и изменение кинетического момента

.

Поскольку для каждой пары частиц сила взаимодействия между ними направлена вдоль прямой, их соединяющей, то

и изменение кинетического момента

Вектор называется моментом ударного импульса относительно центра О. Последнее соотношение, выражающее собой теорему о изменении кинетического момента системы под действием ударных сил читается так: изменение кинетического момента системы относительно некоторого центра при ударе равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов.

Проектируя последнее соотношение на некоторую ось, проходящую через точку О (скалярно умножая на направляющий от оси), получаем:

.

В левой части здесь стоит приращение количества движения системы, слагаемые в правой части представляют собой моменты ударных импульсов относительно оси. Отсюда следует, что изменение момента количества движения системы относительно неподвижной оси при ударе равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов относительно оси.

3. Теорема о изменении кинетической энергии системы. Сначала рассмотрим случай одной математической точки. Элементарная работа произвольной силы , действующей на нее, определяется формулой

,

где - элементарное перемещение точки.

Кинетическая энергия материальной точки

.

Отсюда .

Если на материальную точку одновременно действует обычая и ударная силы, то

.

Умножая последнее равенство скалярно на , получаем

,

или

.

Интегрируя на промежутке действия ударной силы и пренебрегая продолжительность удара , получаем:

.

Следовательно, изучение кинетической энергии материальной точки при ударе равно работе ударной силы.

Кинетическая энергия системы материальных точек определяется как сумма:

а ее изменение

Поскольку продолжительность удара , то слагаемым можно пренебречь. Поэтому можно записать, что

,

где - работа внешних ударных сил; - работа внутренних ударных сил.

Последняя формула определяет собой теорему о изменении кинетической энергии системы под действием ударных сил: изменение кинетической энергии механической системы при ударе равно суммарной работе всех внутренних и внешних ударных сил.

Всевозможные пары точек системы можно разбить на две группы: с «мягкими» и «жесткими» взаимодействиями. В этом случае работой сил , относящихся к первой группе, можно пренебречь, уподобив их обычным силам. Если взаимодействия между частицами системы жесткие, то

и работа внутренних ударных сил равна нулю. Следовательно, если к системе материальных точек прилагаются ударные силы, а взаимодействия между точками системы либо пренебрежительно малы, либо абсолютно жестки, то изменение кинетической энергии равно работе только приложенных ударных сил.

Приращение кинетической энергии системы при импульсном движении

,

где , или

.

Если взаимодействия между точками системы мягкие или абсолютно жесткие, то вторая сумма в правой части пренебреженно мала и приращение кинетической энергии системы оказывается равным

.

§3. Импульсное движение твердого тела.

1. Абсолютно твердым телом в динамике называют систему материальных точек, попарные расстояния между которыми остаются неизменными, т.е. связи между всеми точками системы абсолютно жесткие. С твердым телом можно связать некоторую декартову систему координат , относительно которых все точки тела неподвижны, а сама она может перемещаться относительно инерциальной системы отсчета OXYZ. Для определения скорости любой точки твердого тела, достаточно знать скорость полюса и вектор , называемый мгновенной угловой скоростью. В соответствии с формулой Эйлера, скорость произвольной точки А тела