Втрое ограничение состоит в том, что суммарная кинетическая энергия двух данных тел при ударе не возрастает. По формуле Кельвина находим, что приращение кинетической энергии тел

,

или

.

Отсюда находим, что

Окончательно находим, что величина может принимать значения в интервале

Любое значение из данного интервала определяет физически возможное решение системы уравнений

.

В частности, при система имеет решение

т.е. имеет место абсолютно неупругий или пластический удар. Если имеет значение

,

то система имеет решения

,

где . Эти решения соответствуют абсолютно упругому удару. На их основе находим, что

,

т.е. относительная скорость отхода противоположна относительной скорости сближения.

Наиболее распространен неупругий удар, к которому относятся все промежуточные значения параметра . Такой удар описывается формулой

где . Величина е не может быть определена при помощи основных теорем динамики.

На основании серии экспериментов Ньютон установил, что коэффициент е определяется материалами соударяющихся тел и не зависит от скорости сближения. В частности он нашел, что для стеклянных шариков , для железных и т.д. Ньютон также ввел понятие двух фаз удара: первая из них – деформация, характеризуется убыванием относительной скорости соударяющихся тел до нуля (при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругих деформаций); во второй фазе – энергия упругих деформаций переходит в кинетическую энергию тел и тела расходятся. При этом приращение кинетической энергии

.

Следовательно, при неупругом ударе (e < 1) часть кинетической энергии теряется.

Понятие двух фаз удара позволяет коэффициенту е придать динамический смысл. Для этого необходимо помнить, что окончание фазы деформации характеризуется значением параметра

.

Такое возможно только в случае, когда коэффициент восстановления

.

Именно такой смысл вкладывал в коэффициент восстановления Пуассон.

С формальной точки зрения, независимость коэффициента восстановления от начальных условий удара является величиной, справедливость которой в каждом конкретном случае подлежит проверке. Опыт свидетельствует о том, что в действительности величина коэффициента восстановления е монотонно убывает с ростом разности , так что при малых скоростях сближения удар близок к абсолютно упругому, а при больших – к пластическому. Тем не менее гипотеза Ньютона остается эффективным и простым средством решения задачи о коллинеарном ударе некотором ограниченном диапазоне скоростей (от десятков сантиметров до нескольких метров в секунду).

§2. Волновая теория коллинеарного удара

Связи между различными точками твердого тела не являются абсолютно жесткими, а допускают их относительные перемещения. При этом каждая точка тела имеет три степени свободы (по числу пространственных координат), а общее число независимых координат равно 3К. Поскольку аналитическое решение задачи о движении под действием заданных сил и при данных начальных условиях твердого тела как синтез частиц практически невозможно, то плодотворным является представление о твердом теле как о сплошной среде, заполняющей определенный объем в пространстве. Отличие двух моделей твердого тела состоит в наличии и отсутствии внутренних степеней свободы, которые позволяют описать деформации. При этом тело может обладать как кинетической, так и потенциальной энергией, т.е. полная механическая энергия тела складывается из значения Е0, вычисленного без учета деформаций, и внутренней энергии Еn.

Внутренние процессы в деформируемых твердых телах имеют волновой характер, т.е. характеризуются быстротой передачи возмущения вдоль среды без переноса вещества (точки тела при этом совершают колебательные движения). Они могут быть описаны уравнениями математической физики, точное решение которых возможно лишь в исключительных частных случаях, включая задачу о коллинеарном ударе. Временем соударения двух деформируемых тел называется промежуток времени, в течение которого в них происходят волновые процессы, сопровождающиеся изменением внутренней энергии. По окончании удара деформируемые тела движутся как абсолютно твердые. Период затухания внутренних колебаний зависит от материалов, из которых сделаны тела, а также от их форм и может достигать нескольких секунд (колокол, камертон), но обычно не превышает долей секунды.

Итак, удар деформируемых тел состоит из двух фаз: в первой они контактируют и сообщают друг другу ударные импульсы; во второй – движутся независимо под действием приложенных внешних сил и сил инерции. Будем считать, что внешние силы не зависят от внутреннего состояния тел, поэтому как и в случае абсолютно твердого тела единственной величиной, подлежащей определению является ударный импульс I в формулах:

.

Исследуя модели коллинеарного удара деформируемых тел ограничимся случаем продольного соударения двух стержней, так как тела более сложной формы при ударе перестают двигаться поступательно. Для описания состояния стержня выберем инерциальную систему отсчета с осью Х, направленной вдоль него и будем обозначать U = U(x,t) перемещение поперечного сечения, имеющего в момент времени t абсциссу х, от некоторого начального его положения в отсутствии деформаций; S – площадь сечения; - плотность материала. Внутреннее состояние системы характеризуется деформацией