.

Для определения послеударного движения нужно вычислить значения функций и при у > 0. При волна идет от сечения х1 к х2. При этом в точках левее фронта напряжение отсутствует, а скорость равна – . В момент произойдет полная разгрузка стержня и стержень оторвется от стенки.

§3. Роль активных сил в теории низкоскоростного удара

Наличие активных сил влияет на характер удара с никой начальной скоростью. Для количественной оценки этого влияния необходимо составить уравнение импульсного движения с учетом всех действующих сил, а затем исследовать их. Определяющими являются уравнения движения центров масс, которые при коллинеарном ударе выглядит так:

, .

Ударная сила Fу имеет максимальное значение, убывающее до нуля при убывании начальной скорости сближения . Поэтому при низкоскоростном ударе активные силы F1 и F2 могут оказаться более весомыми, чем ударная реакция.

Вновь рассмотрим соударение деформируемого стержня с абсолютно жесткой преградой. Теперь будем считать, что стержень движется вертикально под действием силы тяжести. При таком движении возможны удары о «пол» или «потолок». В обоих случаях выберем начало отсчета на границе препятствия, так что недеформированный стержень занимает промежуток . Для вывода уравнения движения надо учесть силу тяжести.

В результате получим неоднородное уравнение вида

,

где знак «плюс» соответствует полу, «минус» - потолку. Функция U(x,t) удовлетворяет начальным и граничным условиям

пока ,

где будем считать , .

Будем искать решение уравнения в виде

,

где функции и определяются из начальных и граничных условий. Неоднородное уравнение удовлетворяется при любом выборе дважды дифференцируемых функций и , поэтому ими надо распорядиться в соответствии с другими ограничениями. Из начальных условий можно определить значения функций и при , а затем продолжить их для других значений аргумента при помощи граничных условий. Первые из них (для свободного конца) имеет вид

при у > 0,

второе же

,

при у > 0, пока . При этом оказывается, что

, при ,

.

Момент разделения тел сопровождается изменением знака с меньше на больше в соотношении

.

Определим продолжительность контакта при низкоскоростном ударе и определим величины ударного импульса.

а) При ударе о пол имеем, что

, при ,

Напряжения в точке контакта остается отрицательным до момента , соответствующего прохождению ударной волны вдоль стрежня в обоих направлениях. В момент времени распределение скоростей и деформаций оказывается следующим:

,

.

Наличие силы тяжести приводит к тому, что после отрыва от препятствия стержень остается деформирован, т.е. колебательные процессы внутри него продолжаются. Оказывается, что сумма кинетической и внутренней энергии стержня при ударе увеличивается. Этот кажущийся парадокс объясняется одновременным уменьшением потенциальной энергии в поле силы тяжести вследствие деформации. Величина ударного импульса в этом случае

.

б) При ударе о потолок имеем, что

, при ,

в этом случае деформация в точке контакта имеет вид:

В интервале эта функция может оказаться как отрицательной, так и знакопеременной (в зависимости от скорости сближения ). Если выполнено неравенство

(вид волновых функций соответствует случаю 2 рисунка), то удар описывается формулами

,

.