и напряжением , т.е. силой, действующей на единичную площадку в данном сечении. Зависимость считается заданной, она определяет упругие и пластические свойства материала. Наиболее простой вид она приобретает для упругой среды. Для упругой среды согласно закону Гука

,

где коэффициент Е (называемый модулем упругости или модулем Юнга) зависит только от свойств материала.

Составим баланс сил для элемента стрежня dx, пренебрегая конечными, т.е. обычными силами. Напряжение на левом конце элемента , а на правом его конце . Масса элемента , а ускорение . По второму закону Ньютона имеем, что

,

или (после преобразований)

.

Если, к тому же, , то

.

В этом случае получаем, что

или .

Получается волновое уравнение, в котором константа имеет смысл скорости распространения волны в данном однородном стержне. Для его решения необходимо знать начальные и граничные условия. В начальный момент удара t0 тела ненапряженны, следовательно

.

При этом скорости всех точек стрежня одинаковы, за исключением его граничной точки х = х2, соударяющейся со вторым стержнем. На свободном конце стержня х = х1.

,

что выражает отсутствие внешней нагрузки. Условие в точке контакта х = х2 зависит от постановки задачи.

Например, стержень соударяется с неподвижной абсолютно твердой системой. В этом случае

до тех пор, пока

.

Последнее неравенство означает, что стержень в точке контакта сжат, его напряжение свидетельствует о разделении тел.

При соударении двух стрежней с одинаковыми сечениями граничное условие выражает равенство действия и противодействия:

,

где и - перемещения точек первого и второго стержня соответственно.

Удобная форма решения волнового уравнения в задачах об ударе была предложена Даламбером. Решение ищется в виде функции

,

где функции и определяются из начальных и граничных условий. В начальный момент удара t0 тела не напряжены и, следовательно,

.

Сумму можно выразить, зная распределение скоростей в момент t0. Тем самым можно найти функции и , описывающие волны напряжений в соударяемых телах: первая из них распространяется со скоростью С в положительном направлении, вектор против оси Х. В момент достижения одной из волн конца стержня необходимо вновь определить функции и с учетом граничного условия, что соответствует явлению отражению волны от границы тела. Зная в каждый момент времени распределение напряжений, можно определить момент разъединения стержней и ударный импульс.

Рассмотрим в качестве примера соударение стержня, движущегося со скоростью с абсолютно жесткой стенкой. В момент времени t0 скорость всех его точек одинаковы, за исключением точки х = х2,скорость которой равна нулю. Положим, что t0 = 0 и х2 = 0, тогда . В этом случае

, пока .

Дифференцируя первое из этих соотношений, получим

при у > 0, пока .

На свободном конце х = х1 имеет место равенство

при у > 0.

Начальное распределение скоростей описывается формулой

при .

В результате решения получаем

при .

Формулы , и описывают волну напряжений, распространяющуюся со скоростью С в направлении свободного конца. Во всех точках лежащих левее фронта волны, скорость равна , а напряжение отсутствует; правее от фронта скорость равна нулю, а напряжение

.

В момент времени волна достигает свободного конца стержня, при этом он будет равномерно деформирован и полностью остановлен. Такое состояние стержня не будет равновесным, так как оно не удовлетворяет граничному условию