.

С помощью формулы решения задачи о действии ударных импульсов на твердое тело можно свести к вычислению приращений и .

Поместим точку О1 системы координат в центр массы твердого тела. Тогда изменение скорости движения полюса О1, являющегося одновременно центром масс системы

,

где - масса системы, l – число импульсов, действующих на тело. Кинетический момент твердого тела относительно центра масс

,

где J – центральный тензор инерции. Если к телу приложены ударные импульсы Ii (i=1, 2, 3 …, l), то изменение кинетического момента твердого тела относительно центра масс

,

где - радиус-вектор, проведенный из центра масс к точке Аi приложения импульса . Поэтому изменением положения тела за время удара можно пренебречь, то выражения для и в системах OXYZ и имеют одинаковый вид. Из последнего соотношения находим, что

.

В результате находим, что изменение скорости произвольной точки А твердого тела

Согласно теории Кёнига кинетическая энергия твердого тела

.

Отсюда находим, что в случае единственного ударного импульса изменение кинетической энергии тела

Соотношение является формулой Кельвина в применении к импульсному движению твердого тела. Она справедлива и при одновременном воздействии нескольких ударных сил. В этом случае

где - скорость точки Аk.

2. Допустим теперь, что тело закреплено в двух точках О и . Тогда оно имеет единственную степень свободы, соответствующую вращению вокруг оси . Пусть в точке А1 прилагается ударный импульс . В этом случае тело оказывает ударное воздействие на точки крепления, а со стороны последних возникают ударные импульсы реакции и . Обозначим через радиус инерции тела относительно оси , тогда момент количества движения относительно этой оси равен , где - угловая скорость вращения. Импульсивные реакции не входят в выражение момента количества движения, так как они не создают момента относительно оси вращения. Их можно попытаться определить из условия неизменности скорости точек О и при ударе. Общие уравнения динамики в данном случае имеют вид:

.

Условия неподвижности выглядят так:

.

Они позволяют однозначно определить составляющие импульсных реакций, перпендикулярные оси вращения, а также сумму их проекций на эту ось. Что касается изменения кинетической энергии тела с неподвижной осью при ударе, то оно может быть рассчитано по формуле

Кельвина, так как реакции и прилагаются в неподвижных точках и их работа равна нулю.

Глава 2. Коллинеарное соударение двух твердых тел

§1. Уравнение импульсного движения их решения

Будем полагать, что скорость сближения соударяющихся тел такова, что они при ударе не разрушаются и неиспытывают заметных деформаций. При поступательном движении абсолютно твердого тела скорости всех его точек одинаковы. Поэтому достаточно определить одну из них, чтобы знать значение скорости всего тела. Поскольку в этом случае скорости направлены вдоль фиксированной прямой, то их можно рассматривать как скаляры, так же как и ударные силы.

Пусть скорости центров масс двух тел и , а ударный импульс, приложенный ко второму из них (по третьему закону Ньютона к первому телу прикладывается импульс ). Тогда по теореме о движении центра масс для каждого из тел имеем:

.

Поскольку система двух уравнений содержит три неизвестных, то решений будет бесчисленное множество. В параметрической форме их можно записать

,

где - некоторый положительный параметр. В действительности величина может принимать значения из некоторого интервала, что обусловлено двумя ограничениями на характер послеударного движения. Перовое из них состоит в том, что значения скоростей непосредственно перед ударом удовлетворяют неравенству (т.е. тела сближаются), а после удара (т.е. они расходятся). На основе этих неравенств находим, что

.