После того, как мы в достаточной мере хорошо научились оперировать свойствами тригонометрических функций, можно переходить к решению тригонометрических уравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Но не стоит центр тяжести при изучении тригонометрических функций смещать в сторону алгебры, то есть не нужно выдвигать на первое место умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований. Эти умения, безусловно, важны и развивают у учащихся комбинаторные, логические и алгоритмические навыки, однако главное в изучении тригонометрических функций уходит при этом в тень. Таким образом, не следует забывать, что основная задача учителя математики – все-таки развитие умственных способностей ребенка.

§4 Опытное преподавание.

Опытное преподавание осуществлялось мной во время прохождения педагогической практики на выпускном курсе. Опытно-экспериментальной базой являлся 11б класс школы №10 города Кирова. В это время мной было проведено несколько уроков из темы «Тригонометрические функции».

Так как преподавание алгебры и начал анализа в данном классе велось по учебнику [2], потому к моменту изучения тригонометрических функций учащиеся уже умели решать тригонометрические уравнения и неравенства, а также выполнять тригонометрические преобразования (см. §2). Несмотря на это, у учащихся до сих пор возникали проблемы при работе с тригонометрической окружностью. Многие забыли как найти точку на числовой окружности, которая соответствует некоторому числу (особенно не выраженному в долях числа p), или найти числа, которые соответствуют точке с заданными координатами. Это можно объяснить, на мой взгляд, несколькими причинами. Первая – недостаточная работа с числовой окружностью на начальном этапе изучения тригонометрии в курсе алгебры и начал анализа. Вторая – достаточно большой временной разрыв между введением тригонометрической окружности и изучением тригонометрических функций[1]. Кроме того, если изучение тригонометрических уравнений происходит после изучения тригонометрических преобразований, то часто решение первых просто сводится к «возне» со вторыми, а работа с тригонометрической окружностью как с самостоятельным объектом отходит на второй план. Поэтому было принято решение - провести урок повторения по данной теме.

Урок №1. «Числовая окружность на координатной плоскости»

Образовательные цели урока:

- Обобщить имеющиеся у учащихся знания о числовой окружности как о самостоятельном объекте изучения.

- Вспомнить основные принципы работы в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольной декартовой.

- Повторить свойства синуса и косинуса, формулы приведения.

Ход основной части урока.

Данный урок был построен в форме беседы учителя и учащихся, в процессе которой были озвучены ответы на следующие вопросы:

Что такое окружность? А ее дуга?

Как найти длину дуги окружности?

Что такое единичная окружность? Почему удобнее использовать именно ее?

Что такое числовая окружность?

Как найти на числовой окружности точки, соответствующие данным числам?

Чем отличается построение точки на числовой прямой и на числовой окружности?

Как составить аналитическую запись дуги числовой окружности?

Как располагается числовая окружность на координатной плоскости?

Как найти декартовы координаты точки числовой окружности?

Как определить синус и косинус (угла и числа) с помощью координат?

Какие свойства синуса и косинуса хорошо иллюстрируются на числовой окружности?

Как проиллюстрировать основное тригонометрическое тождество с помощью числовой окружности? А формулы приведения?

В качестве иллюстрации ответов на вышеизложенные вопросы были рассмотрены решения следующих упражнений.

1) На единичной окружности отмечены точки А(1;0), В(0;1), С(-1;0) и Д(0;-1). Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья – на три равные части точками Р и К. Чему равны длины дуг АМ, ВК, ДС, ВР, СВ, ВС?

2) Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу а, если а = π, -π/2, π/3, -5π, 25π/4, 1, –5, 13.

3) Найдите декартовы координаты следующих точек числовой окружности: М(π/4), С(-3π/2), А(23π/6), В(-31π/4).

4) На числовой окружности укажите точку М, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, которым соответствует данная точка: а) у=-1/2, х<0 б) х=-Ö3/2, у>0

5) Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют. а) х<1/2 б) х³-Ö3/2 в) у>Ö2/2 г) у £0.

6) Вычислите синус t и косинус t, если t = 0, π/2, -π/4, -5π/3, 23π/6.

7) Определите знак числа а) sin(4π/7) б) cos(-3π/8) в) sin(-12) г) cos5 д) sin(-14π/9)*cos(π/8).

8) Сравните: а) sin 2 и cos 2 б) sin 3 и sin( –3) в) cos 6 и sin 1.

9) Вычислите: cos(π +a)*cos (-a-π/2)

(sin(-a)* sin (π/2-a))

Краткий анализ урока.

Несмотря на то, что ответы на многие вопросы были известны учащимся, активность проявляли не все. Многие были неуверены в правильности своих мыслей, поэтому некоторых учеников приходилось спрашивать поименно. Тем не менее, к концу урока активность возросла, да и количество правильных ответов тоже увеличилось. Результаты небольшой проверочной работы, проведенной на следующем уроке говорят сами за себя: из 23 учащихся, присутствовавших на уроке, 18 получили 4 и 5. Поэтому я считаю, что данное занятие прошло довольно неплохо.

Урок № 2. Функция у= sin х, ее свойства и график.

Образовательные цели урока:

1) Изучить свойства функции у= sin х.

2) Сформировать у учащихся умение изображать график этой функции и по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, наибольшее и наименьшее значения.

Форма занятия.

Так как многие свойства синуса учащимся известны, то лучше всего в качестве формы данного урока избрать беседу.

Содержание основной части урока.

1) Ввести функцию у= sin х. Обосновать, что это действительно функция.

2) Установить ее область определения и область значений. Обосновать.

(подробнее про обоснования всех свойств см. в §3. «Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа»)

3) Сформулировать и обосновать с помощью тригонометрической окружности такие свойства функции у=sinх как промежутки возрастания и убывания, нули, нечетность, ограниченность, а также наибольшее и наименьшее значения.

4) Воспользовавшись данными свойствами и равенством sin(x+2p)=sin(x), построить график и сообщить, что он называется синусоидой.

5) Еще раз проиллюстрировать все свойства данной функции, но уже с помощью графика.

Практическая часть.