Вообще вопросы тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования – тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, в отличие от учебника [16], по которому сначала изучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования (как свойства функций).

Обучение же по учебникам [2] и [3] предполагает изучение тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в учебниках [11] и [16]), а в конце него. Авторы учебника [2] предлагают приступить к изучениию тригонометрии после изучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются тригонометрические преобразования, затем - тригонометрические уравнения и только после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд особенностей:

- изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;

- изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических функций).

В учебнике же [3] же вообще предлагается изучать тригонометрию уже после изучения производной. Это позволяет вычислять приближенные значения тригонометрических функций в точках, тем самым облегчая их исследование, помогая при построении графиков и решении тригонометрических уравнений.

Что касается введения самих тригонометрических функций, то и здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса и косинуса. В учебнике [2] дается следующее определение: «Сos х – это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х, а sin х – ее ордината». В [16]: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти два определения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением только того, что в учебнике [2] тригонометрические функции определяются как функции углового аргумента, а в [16] как функции числового аргумента, да еще присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что при работе с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, что знак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути).

В учебнике же [11] как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо них присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa - это синус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, у учащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссы и ординаты. В учебнике [16] этот факт тоже довольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике [3] пояснение отсутствует вовсе.

Тангенс же во всех учебниках, за исключением [11], определяется как отношение синуса к косинусу. В учебнике же [11] опять не дается четкого определения тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки пересечения прямой ОРa (Рa - точка на единичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».

Определения котангенса авторы дают аналогично определениям тангенса за исключением учебника [2], в котором котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается как функция.

Остановимся подробнее на вопросах исследования и построения графиков тригонометрических функций.

В учебнике [16] процесс построения графика и исследования функции происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность, возрастание на отрезке [0;p/2] и убывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значений функции на отрезке [0;p], строятся соответствующие точки и плавно соединяются.

Используя свойство нечетности синуса, полученный график отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя свойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезках длиной 2p. С опорой на построенный график, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование функции cos х и построение ее графика как и во всех остальных учебниках основывается на том факте, что cos х = sin (х+p/2).

В учебнике [3] построение синусоиды происходит при помощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкам оси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит возвращение к свойствам и к тому, как они проявляются на графике. В учебнике [11] синусоида строится подобно тому, как она строится в [3], но все свойства функций за исключением области определения и множества значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затем только переносятся на тригонометрические.

Отметим, что в учебниках [16] и [11] не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительных чисел. Конечно, этот факт достаточно очевиден, но тем не менее учебник пишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, у всех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов, ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логической четкости и аккуратности мысли.

Что касается области значений тригонометрический функций, то ни в одном из учебников нет четкого обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойства сводятся к рассмотрению двойных неравенств: -1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1].*

При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических функций доказательство тождества sin(-х) = -sin(х) сводится в основном к симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников. *

Монотонность же тригонометрических функций во всех учебниках, за исключением [11], иллюстрируется с помощью числовой окружности. В учебнике [11] в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у= sin(х) обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.*