Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.

Пример 3. Решить систему уравнений

Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х2+y2=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y= cosα, α, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.

Пусть х= sinα, y= cosα, αВторое уравнение системы примет вид

Условию αудовлетворяют четыре значения α1=, α2=, α3=, α4=.

х1= y1=

х2= y2=

х3=y3=

х4=y4=

Ответ: х= , y= ; x= , y= ; x= ,

y= ; x= , y= .

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу:

Числа a, b, c, d таковы, что a2+b2=1, c2+d2=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?

Решение может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α, c=sinβ, d=cosβ, β. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде

Преобразуем выражение ab+cd:

Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α - β)=0, a значит ab+cd=0.

Ответ: ab+cd=0»

После этого учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа?»

Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x=tgα, αи x=ctgα, α.

Пример 5. Доказать, что при любых действительных х и у

.

Замечание. Желательно обсудить с учащимися лишь необходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.

Положим , где . Тогда

Так как все значения выражения

лежат в промежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все значения исходного выражения лежат в этом же промежутке. Что и требовалось доказать.

* более подробно эти вопросы изложены в параграфе 3

1) Напомним, что обучение по учебнику [2] предполагает изучение тригонометрических уравнений в конце 10-го класса, а изучение тригонометрических функций только в начале 11го.