так как выбранная точка (y0, u0, ¦0) – установившийся режим работы, где и производные координат равны нулю, для приращений начальные условия будут нулевыми.

Ф – сумма членов ряда Тейлора высшего порядка малости и ими можно пренебречь (для устойчивых САУ отклонения переменных малы, ибо этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы).

Уравнение установившегося режима

(2)

есть уравнение статического равновесия системы.

Для того чтобы получить линеаризованное уравнение первого приближения для системы, необходимо из уравнения возмущённого состояния (1) вычесть уравнение установившегося состояния (2) и отбросить нелинейные члены Ф ряда Тейлора. Опустим знак D, считая y, u и ¦ отклонениями от их установившихся значений, и запишем линеаризованное дифференциальное уравнение системы для окрестности точки (y0, u0, ¦0): , (3) где в левой части записаны выходная функция и её производные, в правой – входное и возмущающее воздействия и их производные.

Из этого дифференциального уравнение можно получить уравнения установившегося режима для приращений переменных (уравнение статики для приращений переменных).

Условия линеаризации дифференциального уравнения:

1. Функция F аналитическая, т. е. имеет непрерывные производные по всем аргументам;

2. Система автономна, т. е. время t не входит в функцию F явно;

3. Система стационарна (коэффициенты дифференциального уравнения не изменяются во времени);

4. Функция F не имеет разрывов непрерывности и неоднозначности по каким-либо из переменных.

Если нелинейная связь между координатами элемента задана в виде графической зависимости y = ¦(u), показанная на рис.1, то при линеаризации нелинейная характеристика заменяется характеристикой в виде касательной, проведенной через рабочую точку А, соответствующую установившемуся значению координат до возмущения. Тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс определяет частную производную функцию ¦(ui) в рабочей точке, т. е.

Рис. 1.

В следящих системах используется большое число различных элементов и поэтому не представляется возможным вывести заранее уравнения для всех элементов, встречающихся на практике. Появление новых элементов в системах и учёт ряда дополнительных факторов, оказывающих влияние на систему, требует каждый раз заново решать задачу составления уравнений тех или иных элементов. Поэтому вывод исходных уравнений элементов всегда остаётся творческой задачей, которую необходимо решать при исследовании систем автоматического регулирования.

Пример. Составить дифференциальное уравнение генератора постоянного тока с независимым возбуждением.

При w=const eг=СгФ. Электрические машины, как правило, работают в области насыщения: . Вблизи рабочей точки О может быть записано линейное уравнение в приращениях где

Запишем уравнения для контуров рассматриваемой системы:

Совместное решение системы уравнений дает аналитическую зависимость выходной координаты от входной:

Обозначим - постоянная времени обмотки возбуждения,

- передаточный коэффициент.

Опустим знак D, подразумевая под переменными приращения.

Тогда - дифференциальное уравнение генератора.

Передаточная функция САУ

Передаточной функцией звена (системы) называется отношение изображений Лапласа выходной функции к входному воздействию при нулевых начальных условиях

Эталонная передаточная функция – отношение изображений Лапласа требуемой (безошибочной) выходной функции к заданному входному воздействию при нулевых начальных условиях слева. Эта функция устанавливает заданную форму безошибочного преобразования входного воздействия в выходную функцию.

Преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях полученное выше дифференциальное уравнение трёхкоординатной системы управления (3), используя следующую теорему.

Теорема.

В результате преобразования при равных нулю возмущающем воздействии и его производных получим:

отсюда - передаточная функция по каналу управления,

если в уравнении (3) принять входное воздействие и его производные равными нулю, то получим - передаточная функция по каналу возмущения.

Знаменатель передаточной функции называют характеристическим полиномом, а, приравняв знаменатель к нулю, получим характеристическое уравнение. Корни знаменателя называются полюсами, а корни числителя – нулями.

Передаточная функция зависит от конструкции устройства и свойств материала конструкции, но не зависит от входных воздействий и выходной функции.

Правило определения передаточной функции замкнутой САУ