4) заменить данное уравнение равносильной ему системой

содержащей:

а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий знаменатель Q (x);

б) неравенство, характеризующее область определения дроби;

5) решить полученную систему;

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

Программа по математике IX класса предусматривает знакомство и с некоторыми общими для всех видов уравнений приемами преобразования уравнений к простейшим (разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах.

Нетрудно заметить, что разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной служит очередным расширением «фонда» преобразований уравнений к простейшим. Тогда к концу изучения курса алгебры неполной средней школы обобщенный прием алгебраического решения уравнений может иметь следующий вид:

1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» — п. 2 ;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители, введение вспомогательной переменной, возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной ему системой уравнений;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;

4) решить известным способом простейшее уравнение;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений в единую, целостную систему. Для этой ступени характерны более сложные задания, в которых возрастает роль таких компонентов, как распознавание возможности сведения задания к одному из типовых классов, организация процесса решения. Здесь существенно производить разбор решаемых заданий, выделять особенности различных классов заданий и их общие черты, отмечать ценность тех или иных применяемых средств.

По своему положению в курсе алгебры эта ступень может быть отнесена к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению; в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их систем. Для уравнений и систем уравнений ее можно изобразить в виде схемы

В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, соединяющие различные классы. На этом, более высоком уровне владения материалом связи становятся намного более освоенными, так что учащиеся в процессе выполнения заданий могут самостоятельно их восстанавливать.

§ 5. Методика изучения основных классов уравнений и их систем.

1. Линейные уравнения с одним неизвестным.

Этот класс уравнений — первый в курсе алгебры, поэтому от характера его изучения в значительной мере зависят особенности организации всего последующего изучения линии уравнений. При изучении этого класса уравнений, помимо его непосредственного выделения и описания, приходится останавливаться на вопросах, относящихся к формированию общего понятия об уравнении, вводить терминологию.

В § 2 были приведены различные взгляды на содержание понятия уравнения. Было отмечено, что каждый из них имеет определенную ценность в развертывании содержания курса алгебры. Поскольку рассматриваемый класс является первым в курсе, указанные взгляды тем или иным способом должны найти место на этом этапе изучения материала линии уравнений и неравенств.

Первая методическая задача, с которой учитель сталкивается, приступая к изложению этой темы, состоит в выделении формальной части понятия уравнений из той содержательной ситуации, в которой оно возникает. В качестве такой ситуации обычно выступает несложная текстовая задача, решение которой алгебраическим методом приводит к уравнению первой степени с одним неизвестным. Учителю следует обратить внимание учащихся на основной метод, примененный в решении задачи,— переход к ее алгебраической модели, общий вид которой f{x)=g(x), где f u g — некоторые выражения, содержащие неизвестное х. Далее, на основе анализа конкретно полученной формулы учитель приводит формулировку общего понятия уравнения, принятую в учебнике, и вводит (или напоминает) связанные с ним термины. Вслед за этим нужно обратить внимание на те формальные характеристики составленного уравнения, которые уже непосредственно приводят к описанию изучаемого конкретного класса уравнений.

В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле, который им придается.

Опишем несколько подходов к выделению первого изучаемого в курсе алгебры класса уравнений.

В учебнике для для 6 класса средней школы Макарычева это линейные уравнения с одной переменной, т. е. уравнения вида ах=b, где х — переменная, а и b — числа. Естественно, что это определение выделяет очень узкий класс уравнений, недостаточный для решения самых простых задач. Какую роль он выполняет? Это роль двоякая. Во-первых, уравнения этого класса просто решаются, причем так описанный класс допускает полное исследование (что и осуществляется в учебнике). Во-вторых, запись уравнений из этого класса играет роль образца, к которому могут быть сведены посредством простейших преобразований уравнения более широкого класса. Большая часть времени, отводимого на изучение линейных уравнений по этому учебнику, используется именно на то, чтобы сформировать навыки сведения к линейным других уравнений, не входящих в этот класс.

В [20][2] вводится и рассматривается класс уравнений, названный по-иному — уравнения первой степени с одним неизвестным. К особенностям введения этого класса следует отнести то, что явного определения он не получает: определение заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами. Предполагается, что в итоге их рассмотрения учащиеся получат достаточно ясное представление об объеме понятия. Основное внимание уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения ко все более простому виду. Фактически при этом приходят к уравнению ах=b. Этот последний класс уравнений явно не выделяется, но на примерах рассматриваются все возможные случаи решения уравнений из него. Такой подход позволяет сконцентрировать внимание непосредственно на алгоритмах решения уравнений.