Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры.

Обобщение приемов решения уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит постепенно. Выделим следующие этапы, процесса обобщения приемов решения уравнений:

решение простейших уравнений данного вида;

анализ действий, необходимых для их решения;

вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

анализ действий, необходимых для их решения;

формулировка частного приема решения;

применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;

работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решений.

применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения, его формулировки, отработки.

В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов решения различных простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, во-первых, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:

1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффициент при неизвестном;

3) упростить уравнение;

4) найти значение неизвестного;

5) записать ответ.

Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7» под редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): « .поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи».

В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения).

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения уравнения первой степени):

1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению ах2 +bх+с=0, где а>0;

4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=0 или c=0, то п. 5, если b¹с¹0, то п. 6;

5) найти х по правилам: при b=c=0 х1,2=0; при с=0 и b¹0

при b=0 и c<0 при с>0 решений нет;

6) найти дискриминант уравнения D=b2—4ac;

7) найти х по формуле: при D>0 при D=0

при D<0 решений нет;

8) если нужно, сделать проверку;

9) записать ответ.

Формирование этого приема не только помогает учащимся овладеть способом решения квадратных уравнений, но и подсказывает им общие компоненты деятельности при алгебраическом решении уравнений. Та же идея подкрепляется решением задач с помощью квадратных уравнений, где уместно использовать перенос уже известного приема решения задач с помощью уравнений первой степени.

Сформулируем обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной.

1) определить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к линейному ах=b;

4) найти при а¹0 ( при а><0);

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ (если нужно, изобразив его на числовой оси).

Сформулировать аналогично обобщенный прием решения уравнений второй степени с одной переменной.

Изучение рациональных уравнений вносит в процесс решения уравнений существенно новый компонент, связанный с рассмотрением области определения выражения, входящего в уравнение, и возможных посторонних корней.

Учитывая это, сформулируем прием решения рационального уравнения:

1) определить, является ли данное дробное уравнение простейшим, т. е. уравнением вида ; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к виду : раскрытие скобок, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, приведение к общему знаменателю;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к виду ;