Тема «Уравнение с двумя неизвестными» в случае наличия ее в курсе изучается недолго. Цель ее изучения состоит скорее во введении новых представлений, чем в развитии навыков.

Непосредственно за ней или на ее месте рассматривается тема «Линейные уравнения с двумя неизвестными». Этот класс изучается детальнее. Здесь необходимо приобрести навыки перехода от линейного уравнения ах+bу=с к уравнению y=kx+b или x=k1y+b1. Кроме того, требуется усвоить факт: график линейного уравнения ах + bу= с, где а¹0 или b¹0, есть прямая линия, а также научиться строить график конкретных линейных уравнений с двумя неизвестными.

Непосредственно перед изучением систем линейных уравнений может быть введено понятие о системе уравнений с двумя неизвестными. Но здесь необходимы некоторые уточнения. Понятие системы уравнений в курсе школьной математики строго определено быть не может из-за отсутствия в нем понятия конъюнкции. Однако для развития теории уравнений достаточно оказывается формировать представление о системе уравнений косвенным образом, посредством указания на цель — нахождение общих решений, двух данных уравнений. Заметим, что общее понятие о системе уравнений в этот момент и необязательно вводить. Общее понятие формируется постепенно на основе своего ведущего частного случая — системы линейных уравнений,— который и составляет непосредственный предмет изучения. Фактически получается так, что понятие о системе уравнений формируется у учащихся на основе осмысления понятия «решение уравнения» и представления о том, что значит решить уравнение. |

Переход к изучению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными целесообразно осуществить при помощи того же процесса выделения математических понятий из текстовой задачи, который был использован в изучении первого класса уравнений. Если реализуемая в учебнике методическая система не содержит пропедевтики этого понятия, такой подход является единственно возможным. Однако даже и при наличии подготовки он позволяет уточнить формальные характеристики вводимого класса систем уравнений и подчеркнуть некоторые существенные моменты: например, что решением системы является не одно число, а пара чисел

Основное содержание рассматриваемой темы состоит в изучении двух алгебраических способов решения таких систем, графического способа решения и исследования систем этого класса.

Отметим наиболее важные отличия в изучении этого материала от изучения класса линейных уравнений с одним неизвестным.

Алгоритмы решения систем линейных уравнений намного сложнее алгоритма решения линейного уравнения с одним неизвестным. Поэтому при их изучении учитель должен четко указывать последовательность операций, используемых в этих алгоритмах, а также провести изучение каждого действия. Эти алгоритмы, по существу, являются первым нетривиальным примером алгоритма в линии уравнений и неравенств.

В развертывании содержания данной темы используются геометрические представления, которые не только в ряде мест могут пояснить изложение, но имеют важное самостоятельное значение. Наиболее принципиальным является их применение для проведения исследования данного класса систем. Возможны различные уровни развертывания этого материала — от иллюстраций, поясняющих смысл различных типов множеств решений, и до использования геометрических представлений для выведения аналитических условий, определяющих каждый случай.

Второй, более высокий уровень в современном школьном курсе алгебры обычно не достигается.

3. Квадратные уравнения.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х2—а=0 или к уравнению х2=а. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ах2+bх+с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения ах2+bх+с = 0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный - b/2a; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, приводятся еще формулы корней уравнения x2+px+q=0 или x2+2px+q=0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнении имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.