Для исключения из системы (3.19) неизвестных и умножим уравнения (3.19) соответственно на алгебраические дополнения , , , элементов первого столбца определителя системы, и после этого сложим полученные при этом уравнения. В результате получим:

(++)+(++)+(++)=

(3.20)

= + + .

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю) (см. свойство 9), получим:

(3.21)

++=, ++= 0,

++= 0.

(3.22)

Кроме того, посредством разложения определителя по элементам первого столбца получается формула:

= + + .

С помощью формул (3.21) и (3.22) равенство (3.20) перепишется в следующем (не содержащем неизвестных и ) виде:

= .

Совершенно аналогично выводятся из системы (3.19) равенства = и = .

(3.23)

Таким образом, мы установили, что система уравнений

= , = , =