С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

= , = .

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть определителем этой системы. Заметим, что определители и получаются из определителя системы посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными членами.

Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай 0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера:

= / , = / (3.8)

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7) является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак, пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при 0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при 0 два числа и . определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю самому расписать выражения для определителей , и , и убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель системы равен нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя бы один из определителей или , отличен от нуля; б) оба определителя и равны нулю. (если определитель и один из двух определителей и равны нулю, то и другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть, например = 0 = 0, т.е. / = / и / = /. Тогда из этих пропорций получим, что /= /, т. е. = 0).

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е. система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система (3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В самом деле, из равенств === 0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы (3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с двумя неизвестными

+ = (3.9)

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов , или отличен от нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9) через произвольно заданное значение другого неизвестного).