Конечно, аналогичное свойство справедливо и в применении к строкам определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.

Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю.

Будем исходить из третьей формулы (3.15), дающей разложение определителя по элементам третьего столбца:

Так как алгебраические дополнения , и элементов третьего столбца не зависят от самих элементов , и этого столбца, то в равенстве (3.17) числа , и можно заменить произвольными числами , и , сохраняя при этом в левой части (3.17) первые два столбца определителя, а в правой части — величины , и алгебраических дополнений.

Таким образом, при любых , и справедливо равенство:

Беря теперь в равенстве (3.18) в качестве , и сначала элементы , и первого столбца, а затем элементы , и второго столбца и учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свойства 3 равен нулю, мы придем к следующим равенствам:

++= 0, ++= 0.

Тем самым доказано, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю: Аналогично доказываются равенства:

++= 0, ++= 0,

++= 0, ++= 0