Таким образом, если определитель системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в случае, если хотя бы один из определителей или отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда == 0). В последнем случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно неизвестное задавать произвольно.

Замечание. В случае, когда свободные члены и равны нулю, линейная система (3.3) называется однородной. Отметим, что однородная система всегда имеет так называемое тривиальное решение: = 0, = 0 (эти два числа обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же = 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю.

1.3. Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов

(3.10)

(3.11)

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (3.10), называется число, равное:

++---

и обозначаемое символом

Итак, по определению

(3.12)

= = ++---.

Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (3.10) будем называть элементами самого определителя. Кроме того, договоримся называть диагональ, образованную элементами , и , главной, а диагональ, образованную элементами , и — побочной.

Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя (3.11), укажем следующее правило, не требующее большого напряжения внимания и памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице