Определители и системы линейных уравненийРефераты >> Математика >> Определители и системы линейных уравнений
1. Определители второго и третьего порядков и их свойства
1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка
Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число т строк и произвольное число и столбцов, называют матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные черточки, либо круглые скобки. Например:
1 7 9.2 1 7 9.2
28 20 18 28 20 18
-6 11 2 -6 11 2
Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:
(3.1)
Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число, равное
-
и обозначаемое символом
Итак, по определению
=
-
(3.2)
Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют элементами этого определителя.
Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или соответственно его столбцов) были пропорциональны.
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций /
=
/
и
/
=
/
эквивалентна равенству
=
, а последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.
1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
+
=
,
+
=
(3.3)
(коэффициенты ,
,
,
и свободные члены
,
считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел
,
называется решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место
и
в данную систему обращает оба уравнения (3.3) в тождества.
Умножая первое уравнение системы (3.3) на -, а второе — на -
и затем складывая полученные при этом равенства, получим
( -
)
=
-
(3.4)
Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на - и
соответственно получим:
( -
)
=
-
(3.5)
Введем следующие обозначения:
=
,
=
,
=
. (3.6)