Обработка результатов экспериментов и наблюденийРефераты >> Математика >> Обработка результатов экспериментов и наблюдений
=
=
.
2. Биноминальное распределение
Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не произойти (А). Обозначим вероятность А через р, а А через q = 1 -р ( других итогов испытания нет ). Тогда исходами двух последовательных независимых испытаний и их вероятностью будут:
АА - р2; АА - рq; АА - qр; АА - q2.
Отсюда видно, что двукратное появление события А равно р2, вероятность однократного появления - 2 рq, а вероятность того, что А не наступит ни разу - q2. Эти результаты единственно возможные и поэтому
.
Это рассуждение можно перенести на любое число испытаний.
Например, при трех испытаниях получим
.
Подсчитаем вероятность того, что при n испытаниях событие А появится m раз. Это может произойти, например, в последовательности
Ясно, что вероятность равна рmqn-m. Но m событий А может быть и в другом сочетании. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m (количество событий А) равно числу сочетаний . Используя теорему сложения вероятностей получаем общую вероятность Рm,n наступления m событий А из n испытаний
Pm,n =
= .
Из этой формулы видно, что вероятности Рm,n для различного исхода испытаний (появление или не появление определенного результата А) определяется
pn + npn-1q + .
Коэффициенты перед вероятностями р, q являются биноминальными коэффициентами, а общая вероятность представляет слагаемые в разложении бинома ( р + q )n. Поэтому закон распределения случайной величины Х, в котором вероятность наступления событий А определяется коэффициентами бинома, называется биноминальным распределением дискретной случайной величины. Этот закон может быть задан в виде таблицы 1.
Таблица 1
Биноминальный закон распределения
хi |
0 |
1 |
2 |
. |
m |
. |
n | |
pi |
qn |
npqn-1 |
|
. |
|
. |
pn |
Биномиальные коэффициенты удобно получать с помощью треугольника Паскаля.
1 n = 0
1 1 n = 1
1 2 1 n = 2
1 3 3 1 n = 3
1 4 6 4 1 n = 4
1 5 10 10 5 1 n = 5
Все строки треугольника ( начинающегося с единицы ) начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа получаются сложением соседних чисел вышестоящей строки. Числа, стоящие в одной строке, являются биноминальными коэффициентами соответствующей степени.
Из описания биномиального распределения становится ясно, что область его действия там, где возможно многократное проведение испытаний с известной вероятностью.
На рис. 7 представлен биномиальный закон распределения.
Рис. 7. Биномиальный закон распределения
Определим основные характеристики этого распределения.
Математическое ожидание
М (Х) =
+
+
= np (q + p)n-1 = np.
Дисперсия распределения может быть определена из общего выражения
,
но это приводит к громоздким вычислениям. В то же время случайная величина Х принимает в каждом опыте только два значения: 1, если событие А произошло и 0, если оно не произошло с вероятностями, соответственно, р или q. Тогда математическое ожидание одного опыта определится
М (Х1) = 0×q + 1×р = р = х
и соответственно дисперсия одного опыта
D (Х1) = (0 - р)2×q + (1 - р)2×р = р2q + q2р = рq (р + q) = рq.
Тогда дисперсия всех n опытов составит
D (X) = n×p×q.
3. Закон Пуассона
В случае малых р ( или, наоборот, близких к 1 ) биноминальный закон распределения можно преобразовать следующим образом
,
где .
.
Определим предел Рm,n при n ® ¥ и постоянном m. Тогда пределы
равны единице, а .
Окончательно имеем
.
Это распределение называется законом Пуассона, где l - интенсивность распределения. Используется в задачах с редкими событиями. На рис. 8 представлена схема вероятностей, распределенных по закону Пуассона.
Рис. 8. Закон распределения Пуассона
Определим его основные характеристики и смысл величины l.
Запишем закон распределения в виде таблицы.
хi |
0 |
1 |
2 |
. |
m |
. |
pi |
e-l |
|
|
. |
|
. |