ах1 + b = y1;

ах2 + b = y2.

На рис. 10 приведена иллюстрация этого метода. Точки - результаты, полученные в эксперименте. Прямая проведена на глаз как можно ближе к экспериментальным точкам. На прямой выбраны точки М (2; 4) и N (13; 10). Коэффициент а характеризует угол наклона прямой.

Поэтому

.

Таким образом y = 0,55х + 2,9.

Рис. 10. Графический метод интерполяции

В случае, если экспериментальная зависимость имеет нелинейный характер, то графическим способом в системе координат с равномерными шкалами определить коэффициенты кривой затруднительно. Но достаточно большой класс нелинейных зависимостей путем замены переменных и графического изображения в функциональных шкалах можно привести к линейным и далее использовать способ натянутой нити.

3.2. Функциональные шкалы и их применение

Пусть функция y = ¦(х) непрерывна и монотонна на некотором промежутке [ a; b ]. Возьмем ось ОМ, на которой будет строиться шкала, выберем на ней точку начала отсчета О и установим масштаб m. Функциональная шкала строится следующим образом.

Разбив интервал [ а; b ] на равные части, вычисляем значение функции ¦(х) в каждой из точек деления и отложим на оси ОМ для каждой точки отрезок m¦(х). Получающаяся при этом точка снабжается отметкой х, т.е. откладывается в выбранном масштабе значение функции, а надписывается значение аргумента.

Иногда начало шкалы помещают в первую точку отсчета, т.е. точку с надписью а совмещают с 0. Тогда точка х будет находиться в конце отрезка m [ ¦(х) - ¦(а) ]. Полученная шкала позволяет судить о поведении функции на рассматриваемом участке: большие промежутки между отметками укажут, что функция изменяется быстрее, чем там, где эти промежутки малы.

Выбор масштаба m определяет длину шкалы. Чаще поступают наоборот: задаются длиной шкалы l и определяют масштаб.

Þ m = .

Пример. Построим функциональную шкалу для функции y = x2 на участке [ 1; 2 ]. Зададимся длиной шкалы l = 12 см. Тогда m = см. Разобьем отрезок [ 1; 2 ] на десять равных частей и вычислим значения функции во всех точках деления. Совместим начало шкалы с точкой отсчета х = 1. Результаты расчета сведены в табл. 2, а функциональная шкала приведена на рис. 11.

Таблица 2

Расчет функциональной шкалы y = x2

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Рис. 11. Функциональная шкала y = x2

С помощью функциональных шкал графики многих функций могут быть преобразованы к прямолинейному виду.

Например, уравнение параболы y = x2. Если на оси OY нанести равномерную шкалу, а на оси OX1 шкалу квадратов х1 = х2, то получится сетка, где уравнение параболы имеет изображение прямой линии ( y = x1 ),