По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности Dx может быть представлена в виде К×sа, где К некоторый численный коэффициент, зависящий от надежности a. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного) числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина sа неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала при малом n вводится новый коэффициент ta. Этот коэффициент предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом ² Стьюдент ².

Рис. 3. Значения надежности a при различных значениях Dx/s

И коэффициент ta назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента отражает распределение случайной величины t = при различном n. При n®¥ ( практически при n ³ 20 ) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину ta можно определить величину абсолютной погрешности Dх = t×Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не определяет точность измерений. Точность измерений характеризует относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности Dx результата измерений к результату измерений а: ε = ± Dх / а. .

1.8. Обнаружение промахов

Если в ряду измерений встречаются результаты, резко отличающиеся от большей части ряда, то возникает вопрос принадлежности ² выскакивающих ² значений этому ряду измерений. Большие ошибки имеют малую вероятность возникновения. Поэтому следует объективно оценить, является ли данное измерение промахом ( тогда его исключают из ряда ) или же это результат случайного, но совершенно закономерного отклонения. Можно считать каждое измерение промахом, если вероятность случайного появления такого значения является достаточно малой.

Если известно точное значение s, то вероятность появления значения, отличающегося от среднеарифметического а более чем на 3s £ 0,003 и все измерения, отличающиеся от а на 3s ( и больше ) могут быть отброшены, как маловероятные.

Следует иметь в виду, что для совокупности измерений вероятность появления измерения ³ 3s от а всегда больше 0,003. Действительно, вероятность того, что результат каждого измерения не будет отличаться от истинного более чем 3s составляет 1- 0,003 = 0,997. Вероятность того, что все n измерений не будут отличаться от среднего более чем на 3s по правилу умножения вероятностей составит ( 1 - 0,003 )n. Для не слишком большого n

(1 - 0,003)n » 1 - 0,003×n.

Это значит, что вероятность того, что из 10 измерений хотя бы одно будет случайно отличаться от среднего более чем на 3s будет уже не 0,003, а 0,03 или 3%. А при 100 измерениях вероятность такого события составит уже около 30%.

Обычно число измерений не очень велико. При этом точное значение s не известно, следовательно, отбрасывать измерения, отличающиеся от среднего более чем на 3s, нельзя.

Для оценки вероятности b случайного появления ²выскакивающих² значений в ряду n измерений составлены соответствующие таблицы.

Для применения таблицы вычисляется среднее арифметическое а и средняя квадратичная погрешность Sn из всех измерений, включая и подозреваемое значение аk. Затем вычисляется уклонение подозреваемого значения аk от среднего арифметического в долях среднеквадратичной ошибки

Vмакс = .

По таблице определяется какой вероятности b соответствует полученное значение Vмакс.

Если вероятность появления данного измерения в ряду лежит в диапазоне 0,1 > b > 0,01, то представляется одинаково правильным - оставить это измерение или отбросить. В случае же, когда b выходит за указанные пределы, вопрос об отбрасывании решается практически однозначно. Решая вопрос об отбрасывании полезно посмотреть, как сильно оно меняет окончательный результат по а и Sn.

1.9. Ошибки косвенных измерений

Часто измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее некоторым образом. Например, при резании металлов часто непосредственно измеряются деформации, ЭДС, по которым судят о возникающих силах и температурах. При этом также необходимо оценить ошибку измерения.

При косвенных измерениях значение y измеряемой величины находят по некоторой формуле

y = ¦ (х1, х2, . , хm),

где x1, x2, . xm - средние арифметические измеряемые (непосредственно) величины. Рассмотрим функцию общего вида

y = ¦ (х1, х2, . , хm)

где x1, x2, . , xm - независимые переменные, для определения которых производятся n прямых независимых измерений по каждой xi.

Обозначим значения переменных через среднее значение и отклонения

y ± Dy = ¦ (x1 ± Dx1, x2 ± Dx2, . , xm ± Dxm).

Эту функцию представим рядом Тейлора, ограничив его первыми членами ряда ( принимая Dxi << xi )

y ± Dy = ¦(х1, х2, . , хn) ± ,

где

- производная функции по xi, взятая в точке xi.

Учитывая, что y = ¦ (x1, x2, . , xm) получаем

Dy = .

Чтобы учесть погрешности Dxi всех n опытов целесообразно использовать средние квадратические оценки ( D xi )2, так как Dxi = 0.

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения и разделим на n

.

Здесь суммы удвоенных произведений типа

согласно четвертому свойству случайных ошибок ( Dxi = 0 ).

Тогда в левой и правой частях имеем среднеквадратические погрешности функции и аргументов

S.

Пример. При тарировке динамометра было получено уравнение зависимости силы от отклонения l луча осциллографа вида P = 25 l. Точность измерения отклонения D l = 1 мм. Тогда

DP = .

В качестве меры точности лучше выступает не абсолютная, а относительная погрешность.

ε.

Рассмотрим ее определение на примере. Пусть

y = cx1a×x2b×x3g.

Тогда

; ;

.