Отметим, что в большинстве случаев при вычислении значений рn в рамках соответствующей математической модели особые трудности не встречаются. Что же касается распределений продолжительностей ожидания, то их численная оценка может оказаться далеко не простой. Таким образом, в большинстве случаев удобнее вычислять WS и Wq через LS и Lq.

Пример. Рассмотрим СМО с одним обслуживающим прибором. Пусть среднее количество требований, поступающих в систему в течение часа, равняется трем(l), а скорость обслуживания составдяет 8 (m)требований в час. Вероятность рn того, что в системе окажется n требований, определяется на основе данных, полученных в результате наблюдений за функционированием системы. Допустим, что мы имеем следующие статистические оценки:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	³8
рn	0.625	0.234	0.088	0.033	0.012	0.005	0.002	0.001	0

(Как мы видим ниже, значения рn вычисляются с помощью формул, которые приходится специально выводить для каждого конкретного типа моделей массового обслуживания.)

На основе приведенных выше исходных данных можно вычислить LS, WS, Wq и Lq. Начнем с определения среднего числа требований, находящихся в обслуживающей системе:

требования. Поскольку l=3, для средней продолжительности пребывания требования в системе имеем

Учитывая, что m=8, получаем оценку средней продолжительности пребывания в очереди

откуда следует, что среднее количество находящихся в очереди "клиентов" равняется

Используя в качестве исходных данных, приведенные в предыдущем примере, вычислим:

(а) Среднее количество находящихся в очереди требований, используя при этом непосредственно известные значения рn.

По определению

Подставляем соответствующие значения

(б) Среднее количество клиентов, которые обслуживаются системой.

По определению среднее количество клиентов, которые обслуживаются системой равно LS-Lq. Из приведенных выше формулах находим

При увеличении параметра l будет увеличиваться LS и Lq, а при увеличении параметра m будет уменьшаться WS и Wq.

2.1.1 Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/¥/¥)

В модели (M/M/1):(GD/¥/¥) имеется единственный узел обслуживания (обслуживающий прибор), а на вместимость блока ожидания и емкость источника требований никаких ограничений не накладывается. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами l и m соответственно.

Прежде всего получим уравнение в конечных разностях для рn(t), т.е. для вероятности того, что в интервале времени t в системе находится n требований (клиентов). После этого при надлежащих условиях перейдем к пределам пи t®¥ и получим формулу для рn, соответстветствующих сиационарному режиму исследуемого процесса.

Уравнения в конечных разностях для рn(t) выводятся на основе тех же соображений, которые приводились в связи с рассмотрением моделей чистого рождения и чистой гибели. Для достаточно малого, но не равного нулю h(>0) запишем

Вероятность поступления в систему n(n>0) требований в интервале t+h [обозначим эту вероятность через рn(t+h)] складывается из следующих вероятностей:

а) в конце временного интервала t в системе находится n требований, а

Р в интервале h не происходит ни поступлений, ни выбытий

б) в конце временного интервала t в системе находится (n-1) требований, а

Р в интервале h происходит одно поступление, но не происходитвыбытий

в) в конце временного интервала t в системе находится (n+1) требований, а

Р в интервале h не происходит не одного поступления, но происходит

одно выбытие.

При этом предполагается, что события происходят случайным образом и в интервале h происходит не более одного события (поступления или выбытия). Тогда, складывая указанные выше вероятности и учитывая то обстоятельство, что для достаточно малого значения h вероятность реализации в данном интервале одновременно двух и боле событий можно положить равной нулю, будем иметь для n>0

Для n=0 вероятность того, что в интервале h не произойдет ни одного выбытия, естественно, равняется единице. Следовательно,

Перенесем теперь (в предыдущем соотношении) рn в левую часть и разделим левую и правую части полученного в результе уравнения на величину h. Переходя к пределу h®0, получим следующее дифференциальные уравнения:

Заметим, что при выводе этой системы дифференциально-разностных уравнений не было сделано никаких аппроксимаций. В этой связи подчеркнем, что аппроксимацию, которая заключается в замене е-lh величиной (1-lh), не следует принимать в расчет, поскольку при предельном переходе h®0 все слагаемые высоко порядка (h2 и выше) все равно обратились бы в нуль.