Сравним теперь полученные значения c2 с критическим значением для c2-распределения. Для этого требуется задать уровень значимости a и число степеней свободы n. Величина n задается соотношением

В рассматриваемом примере мы имеем восемь составных интервалов. Поскольку среднее значение для пуассоновского распределения вероятностей оценивалось на заданной выборке, имеем n=8-1-1=6. Положив уровень значимости a равным 0,05, из таблицы значений c2 получаем критическое значение

При использовании c2-критерия выдвигаемая гипотеза относительно характера распределения при заданном уровне значимости a принимается, если значение c2£c2n(a). Поскольку это условие в нашем примере выполняется, принимается гипотеза о том, что приведенная выше выборка соответствует пуассоновскому закону распределения со средним n, равным 11,65 прибытий в 1ч.

3.3 Модели со стоимостными характеристиками

Стоимостные модели массового обслуживания направлены на определение такого уровня функционирования обслуживающей системы, при котором достигается "компромисс" между следующими двумя экономическими показателями:

а) прибылью, получаемой за счет предоставления услуг;

б) потерями прибыли, обусловленными задержками в предоставлении услуг.

Первый показатель ассоциируется со степенью функциональной активности СМО, тогда как второй- с пребыванием обслуживающей системы в состоянии простоя или с необходимостью системы удовлетворить все потребности в обслуживании. Интуиция подсказывает, что увеличение функциональной мощности обслуживающей системы должно приводить к сокращению времени пребывания "клиентов" в очереди и наоборот. Это означает, что по мере того как затраты, связанные с обслуживанием, возрастают из-за повышения уровня обслуживания, выраженные в экономических терминах потери, связанные с ожиданием, должны уменьшается.

3.3.1 Оптимальная скорость обслуживания m

Рассмотрим одноканальную модель массового обслуживания со средней частотой поступления требований, равной l, и со средней скоростью обслуживания, равной m. Предполагается. Что скорость обслуживания поддается регулированию; требуется определить ее оптимальное значение на основе надлежащим образом построенной стоимостной модели. Введем следующие обозначения:

С1 - выражения в стоимостной форме выигрыш за счет увеличения на единицу значения m в течение единичного интервала времени;

С2 - "цена" ожидания (т.е. обусловленные вынужденным ожиданием экономические потери) в единицу времени и в расчете на одно требование;

ТС(m) - стоимостный показатель, определяемый формулой

ТС (m)=С1m+ С2LS.

Следует отметить, что затраты на обслуживание, отнесенные к единице времени, прямо пропорциональны m, а затем в единицу времени, обусловленные пребыванием заявок на обслуживание в режиме ожидания, равняются среднему значению числа требований, находящихся в СМО, умноженному на "цену" ожидания, определенную в расчете на одно требование и отнесенную к единице времени.

Поскольку m является величиной непрерывной, ее оптимальное значение может быть получено путем приравнивания к нулю первой производной ТС (m) по m. Например, для частного случая (М/М/1):(GD/¥/¥) - процесса

и, следовательно, для оптимального значения m имеем

В ситуации, когда в блоке ожидания обслуживающей системы может находиться не более N клиентов, т.е. если имеет место (М/М/1):(GD/N/¥)- процесс, стоимостную модель можно видоизменить, с тем чтобы за счет увеличения значения N уменьшить число клиентов, которых СМО может потерять. В данном случае величина N рассматривается как управляющая переменная, оптимальное значение которой (вместе с m) определяется путем минимизации

где С3- "стоимость" увеличения (на единицу времени) вместимости блока ожидания обслуживающей системы, а С4-экономические потери, связанные с невозможностью включить в блок ожидания системы еще одного нуждающегося в обслуживании клиента. Заметим, что lрN есть число клиентов, потерянных системой в единицу времени.

Пример. Вычислительный центр коллективного пользования располагает большой электронно-вычислительной машиной (ЭВМ) с разветвленной системой считывающих и быстропечатающих устройств. Один из пользователей хочет определить оптимальную скорость (число перфокарт в минуту) считывающего устройства. Потребности в работе с ЭВМ возникают у пользователей случайно, так что входной поток заявок на обслуживание электронно-вычислительными средствами характеризуется пуассоновским законом распределения вероятностей; отметим, что средняя пропускная способность вычислительного центра составляет 50 программ в течение 8-ми часового рабочего дня. Пусть средний размер программы таков, что она уменьшается на одной тысяче перфокарт. Опыт показывает, что распределение продолжительностей считывания записанных на перфокартах программ является экспоненциальным. По оценкам клиентуры просрочка в выполнении заявленной потребностей в работе с ЭВМ на один день обходится в 10 долл. Вычислительный центр при планировании своей месячной пропускной способности исходит из того, что плата за увеличение пропускной способности считывающего устройства на сотню перфокарт в минуту составляет 100 долл.

Нетрудно убедиться, что скорость считывания, равная 100 перфокартам в минуту, эквивалентна 100*8*60=48000 перфокарт в день, или 48000/1000=48 программно-вычислительных реализаций в день. Полагая, что количество рабочих дней в одном месяце равняется 22, устанавливаемое на месяц указанное выше повышение быстродействия считывающего устройства обходится клиентуре 100 долл./22=4,55 долл. В день. Поскольку именно такое повышение быстродействия считывающего устройства позволяет ежедневно реализовать на ЭВМ на 48 процедур больше. Плата за реализацию одной дополнительной процедуры равняется 4,55 долл./48=0,0948 долл. Используя введенные выше обозначения, имеем С1 =0,0948 долл. Поскольку С2=10 долл. За одну процедуру в день, а l=50 процедур день, получаем оптимальное значение m: процедуры в день.

Переводя этот показатель в количество перфокарт в 1 мин, находим, что оптимальное значение пропускной способности считывающего устройства равняется (123*1000)/(8*60)=256 перфокарт в 1 мин.