Обслуживающая система Блок

обслуживания

Очередь

Поток

поступающих Выбывающие

заявок на из системы

обслуживание обслуженные

клиенты

Рисунок 1

Обозначения, которые представляют наиболее подходящими для СМО с параллельно "включенными" приборами, давно уже унифицированы и имеют следующую структуру:

(a/b/c): (d/e/f),

где символы a, b, c, d, e и f ассоциированны с конкретными наиболее существенными элементами модельного представления процессов массового обслуживания и интерпретируются следующим образом:

а- распределение моментов поступлений заявок на обслуживание;

b- распределение времени обслуживания (или выбытий обслуженных клиентов)

с - число параллельно функционирующих узлов обслуживания (с=1, 2… ¥ );

d- дисциплина очереди;

е - максимальное число допускаемых в систему требований (число требований в очереди+число требований, принятых на обслуживание);

f- емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание.

Для конкретизации a и b приняты следующие стандартные обозначения:

М- пуассоновское распределение моментов поступления заявок на обслуживание или выбытый из системы обслуживанных клиентов (или экспоненциальное распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания клиентов);

D- фиксированный (детерминированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему заявок на обслуживание или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания;

Ek- распределение Эрланга или гамма-распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений требований в обслуживающую систему или продолжительностей обслуживания (при этом под k понимается параметр распределения);

GI- распределение произвольного вида моментов поступления в систему заявок на обслуживание (или интервалов времени между последовательными поступлениями требований);

G- распределение произвольного вида моментов выбытия из системы обслуженных клиентов (или продолжительностей обслуживания).

Для иллюстрации рассмотрим структуру (M/D/10):(GD/N/¥). В соответствии с принятыми обозначениями здесь речь идет о СМО с пуассоновским входным потоком, фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирующими узлами обслуживания. Дисциплина очереди не регламентирована, что подчеркивается парой символов GD. Кроме того, независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь+обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (клиентов), т.е. клиенты, не попавшие в блок ожидания, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Конечная цель анализа систем и процессов массового обслуживания заключается в разработке критериев (или показателей) эффективности функционирования СМО. В этой связи важно сразу же подчеркнуть одно важное обстоятельство: поскольку процесс массового обслуживания протекает во времени, то нас будет интересовать только стационарный процесс.

При выполнении условий стационарности нас будут интересовать следующие операционные характеристики СМО:

Pn- вероятность того, что в системе находится n клиентов (заявок на обслуживание);

Ls- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание);

Lq- среднее число клиентов очереди на обслуживание;

Ws - средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в системе;

Wq - средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди.

По определению

Между Ls и Ws (как и между Lq и Wq) существует строгая взаимосвязь, так что, зная числовые значения одной из этих величин, можно легко найти значение другой величины. В частности, если частота поступлений в систему заявок на обслуживание равняется l (интенсивность поступления требований), то мы имеем

Приведенные выше соотношения справедливы и при гораздо менее жестких предположениях, не налагающих никаких специальных ограничений ни на распределение моментов последовательных поступлений требований, ни на распределение продолжительностей обслуживания. Однако в тех случаях, когда частота поступлений заявок на обслуживание равняется l, но не все заявки имеют возможность попасть в обслуживающую систему (например, из-за недостаточно большой вместимости блока ожидания), соотношения (1) необходимо видоизменить путем такого нового определения параметра l, которое позволило бы учесть только действительно "допускаемые" в систему требования. Тогда, вводя в рассмотрение

Эффективная частота поступлений,

lЭФФ = т.е. количество требований, действи-

тельно допущенных в блок ожидания

обслуживающей системы, в единицу

времени

будем иметь

В общем случае

Это означает, что только часть поступающих заявок на обслуживание действительно "проникает" в систему. Но в любом случае можно установить зависимость lЭФФ от LS Lq следующим образом. По определению

Средняя продол- Средняя продолжи- Среднее время

жительность пре- = тельность пребы- + обслуживания.

бываний в системе вания требований

в очереди

Если средняя скорость обслуживания равняется m и, следовательно, средняя продолжительность обслуживания равняется 1/m, то справедливо следующее соотношение:

Умножая левую и правую части этого соотношения на l, получаем

Последнее соотношение остается справедливым и в том случае, если l заменить на lЭФФ. При этом для lЭФФ можно записать

При анализе всех рассматриваемых ниже моделей основное внимание будет сосредоточено на получении формул для рn, поскольку, зная рn, нетрудно определить значение всех основных операционных характеристик интересующего нас процесса массового обслуживания в указанном ниже порядке: