3. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

5. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?

Занятия №4, 5, 6. Размещения. Перестановки. Сочетания.

Эти занятия можно построить с использованием презентации (см. Приложение 1) по единой схеме: определение → вывод формулы (доказательство) → пример. По мере рассмотрения каждого из комбинаторных понятий целесообразно отработать с учащимися эти понятия на символическом материале. Для усвоения содержания понятия нужно рассмотреть упражнения по составлению объектов, относящихся к определенному комбинаторному понятию. Эти упражнения должны носить внутримодельный характер. Упражнения лучше давать на карточках. Систему упражнений и задач можно подобрать из.

Занятие №7. Самостоятельная работа.

В начале занятия учащиеся должны самостоятельно заполнить таблицу, представленную в презентации (слайд 23), что будет способствовать систематизации и актуализации знаний, полученных на предыдущем занятии.

Вариант 1

1. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы A, B, C, D, E и F?

2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

3. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя друзьями?

4. Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, решив пройти 9 кварталов, из них 5 на запад и 4 на юг?

5. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?

6. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

Вариант 2

1. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

2. Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по трем ящикам?

3. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

4. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

5. Найти число различных способов, которыми можно записать в один ряд 6 плюсов и 4 минуса.

6. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?

Занятие №8. Некоторые свойства сочетаний.

Этот вопрос можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы.

I.

а) Составьте всевозможные сочетания по 2 элемента без повторений из элементов множества М={а, б, в, г, д}. Для каждого из составленных подмножеств выпишите дополнения - трехэлементные подмножества оставшихся элементов - и сравните число тех и других. Какой вывод можно сделать о числах и ?

б)Из n элементов некоторого множества составлены всевозможные k-элементные подмножества и соответствующие им дополнения — (n-k) – элементные подмножества оставшихся элементов. Какой вывод можно сделать о сравнительной величине чисел и ?

в) Воспользуйтесь формулой подсчета числа сочетаний без повторений и докажите равенство =. Это равенство выражает одно из важных свойств сочетаний. Им удобно пользоваться для вычисления в случае k>n.

г) Не производя вычислений, выберите равные из следующих чисел: , , , , , , , , , , , , , .

д) Вычислите , , .

е) Множество М={а, б, в, г, д, е} разбейте всеми возможными способами на два подмножества так, чтобы в одно из них входило 2 элемента, а в другое - 4.

ж) Из 12 человек нужно составить 2 волейбольные команды по 6 человек в каждой. Сколькими способами это может быть сделано?

II. Докажите следующее свойство сочетаний:

+++…+=2n.

а) Возьмите множество М={а, b, с} из трех элементов и составьте k-элементные подмножества М /k=0, 1, 2, 3/.

Каждому подмножеству поставьте в соответствие последовательность из трех цифр – единиц и нулей – следующим образом: каждому из трех элементов а, b, с поставьте в соответствие 1, если он входит в подмножество, 0 – если он в подмножество не входит. Рассмотрите таблицу

Таблица 1.