Введём теперь в рассмотрение флаг F = (α,mВ). В силу выбора флага F симметрия σp переводит флаг F1 в F. Поскольку флаги F = (α,mВ) и F2 =(πm,mВ) имеют совпадающие древки, к ним применим либо п.1 данного доказательства (если α = πm), либо п.2 (если α = πm’). Таким образом, найдётся движение φ1, переводящее F в F2. Поэтому движение φ = φ1◦ σp переводит F1 в F2. Заметим, чтодвижение φ в этом случае является композицией двух осевых симметрий.

4. А ≠ В.

Определим прямую q, которая будет являться осью симметрии так, что σq(A)= B. Образ луча lА, полученный при симметрии σq обозначим через a, образ полуплоскости πl – через α. Ясно, что граница полуплоскости α – прямая, содержащая луч a.

Введём теперь в рассмотрение флаг F = (α,a). Как и выше, симметрия σq переводит флаг F1 во флаг F, а к флагам F и F2 применим один из пунктов 1-3 (т.к. лучи a = σq(lА) и mВ имеют общее начало B). Поэтому движение φ2, переводящее флаг F в F2. Т.к. выше было отмечено, что φ2 является композицией двух осевых симметрий, то φ = σq ◦ φ2 есть композиция трёх осевых симметрий.

Итак, мы доказали, что для любых флагов F1 и F2 всегда найдётся движение, переводящее F1 в F2.

Покажем теперь, что такое движение единственно. Пусть движения φ и ψ таковы, что φ(F1) = F2 и ψ(F1) = F2. Тогда ψ-1(F2) = F1и ψ-1 ◦ φ(F1) = ψ-1 (φ(F1)) = ψ-1 (F2) = F1.

Таким образом, движение оставляет на месте флаг F, т.е. является тождественным отображением: ψ-1 ◦ φ = ε. Отсюда немедленно следует, что φ = ψ, что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть φ – движение, F1, F2 – произвольные флаги. Тогда:

1) если F1 и φ(F1) одинаково ориентированы, то F2 и φ(F2) одинаково

ориентированы;

2) если F1 и φ(F1) противоположно ориентированы, то F2 и φ(F2) имеют

разную ориентацию.

Теперь можно ввести понятие рода движений.

Определение. Движение, сохраняющее ориентацию некоторого флага, называется

движением первого рода (собственным движением).

Движение, изменяющее ориентацию некоторого флага, называется

движением второго рода (несобственным движением).

Нетрудно убедиться в правильности следующих трёх утверждений:

1. Композиция любого числа движений первого рода является движением первого рода.

2. Композиция чётного числа движений второго рода является движением первого рода.

3. Композиция нечётного числа движений второго рода является движением второго рода.

Примерами движений второго рода являются осевая симметрия и скользящая симметрия. В п.6 данного реферата было показано, что любой параллельный перенос и любой поворот представимы в виде композиции двух осевых симметрий, поэтому параллельные переносы и повороты являются движениями первого рода.

8. Классификация движений. Теорема Шаля.

Прежде, чем приступить к доказательству теоремы Шаля, напомним, что движение, множество всех неподвижных точек которого составляет прямую, является осевой симметрией (теорема 4.3.2, исследование 6.2). Если же движение имеет одну неподвижную точку, то оно есть поворот (исследование 6.3). Кроме того, множество всех неподвижных точек произвольного движения одного из следующих четырёх типов: вся плоскость, произвольная прямая, точка и пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента).

Обозначим множество всех неподвижных точек движения φ через I(φ). Рассмотрим два вспомогательных утверждения.

Предложение 8.1. Пусть φ - движение первого рода, не имеющее неподвижных точек.

Тогда φ является параллельным переносом.

Напомним, что если движение не оставляет ни одной неподвижной точки, то это движение - параллельный перенос (исследование 6.4).

Если А – произвольная точка плоскости, то пусть В = φ(А). Ясно, что В ≠ А. Тогда движение ψ = τ–→◦ φ является движением первого рода и имеет неподвижную точку А.

BA

Множество I(ψ) не может быть прямой, поскольку тогда ψ было бы зеркальной симметрией, а это движение второго рода.

Если I(ψ) = {A}, то ψ является некоторым поворотом ραА. Но тогда φ = τ–→◦ ραА, то есть

AВ

тоже является поворотом (при необходимости это будет доказано отдельно), что невозможно.

Таким образом, I(ψ) является плоскостью, поэтому I(ψ) = ε, а значит φ = τ–→. АB

Предложение 8.2. Пусть φ - движение второго рода, не имеющее неподвижных точек.

Тогда φ является скользящей симметрией.

Пусть А – произвольная точка плоскости, В = φ(А)≠ А. Обозначим через l медиатрису сегмента AB и рассмотрим движение ψ = σl◦ φ. Ясно, что φ – движение первого рода и A – его неподвижная точка. Множество неподвижных точек I(ψ) не может быть ни плоскостью, ни прямой. Поэтому I(ψ) либо пусто, либо состоит из одной точки; в первом случае ψ – параллельный перенос, во втором – поворот. Таким образом, движение φ = σl◦ ψ - композиция зеркальной симметрии и движения, являющегося параллельным переносом или поворотом. Поскольку φ не имеет неподвижных точек, φ – зеркальная симметрия.

Теорема Шаля. Каждое движение первого рода является либо параллельным

переносом, либо поворотом;

каждое движение второго рода - либо осевая симметрия, либо

скользящая симметрия.

Доказательство.