Рис.7

Итак, произвольная точка М(x;y) перешла в точку М1(x;y+2d), т.е. в такую точку М1,

–→ →

что ММ1 = а{0; 2d}. Это означает, что

результатом композиции двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный к этим осям, длина которого равна удвоенному расстоянию между осями.

Очевидно, что частным случаем композиции двух осевых симметрий с параллельными осями, когда оси совпадают, является тождественное отображение (ε).

Исследование 5.2.

Пусть О – точка пересечения прямых l и m. Выберем на этих прямых точки А и В так, чтобы угол не был тупым (рис.8). Поскольку при каждой из симметрий точка О остаётся на месте (является неподвижной), то она остаётся неподвижной и в результате композиции этих симметрий.

Рис.8

Возьмём теперь произвольную точку М, отличную от О. Допустим, что она лежит внутри угла АОВ (остальные случаи рассматриваются аналогично).

При симметрии относительно прямой l точка М перейдёт в такую точку N, что ОN = ОМ и ∟АОN=∟АОМ. Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой l перейдёт в такую точку М1, что ОМ1=ОN и

∟ВОМ1=∟ВОN=∟АОВ+∟АОN=∟АОВ+∟АОМ .

Поэтому ∟АОМ1=∟ВО М1 +∟АОВ=2∟АОВ+∟АОN .+∟АОМ, а значит,

∟М1ОМ=2∟АОВ.

Итак, точка О осталась на месте, а произвольная точка М перешла в такую точку М1, что ОМ1=ОМ и ∟М1ОМ=2∟АОВ. Кроме того, направление поворота вокруг точки О от ОМ к ОМ1 такое же, как от ОА к ОВ (на рис. против часовой стрелки). Это означает, что

результатом композиции двух осевых симметрий с пересекающимися осями является поворот вокруг точки пересечения осей на угол, вдвое больший угла между осями.

Очевидно, что частным случаемкомпозиции двух осевых симметрий с пересекающимися в точке О под углом 90о осями является поворот на 180о, т.е. центральная симметрия с центром в точке O.

Из рассмотренных случаев вытекает важное свойство осевой симметрии:

осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию.

Поскольку и поворот, и параллельный перенос представляют собой результат композиции двух осевых симметрий, то каждое из этих движений сохраняет не только величину угла, но и его ориентацию.

6. Исследование возможности существования

других видов движений.

В п.4 данного реферата были рассмотрены три вида движений: параллельный перенос, поворот и осевая симметрия (скользящая симметрия не включена в этот список, поскольку представляет собой композицию движений; также напомним, что центральная симметрия и тождественное отображение являются частными случаями основных движений).

Возникает вопрос: а существуют ли какие-то другие движения, отличные от перечисленных? Важной характеристикой движения плоскости является множество его неподвижных точек. Оно устроено просто, и могут представиться лишь следующие четыре возможных случая:

1) движение оставляет неподвижными три точки плоскости;

2) движение оставляет неподвижными две точки плоскости;

3) движение оставляет неподвижной одну точку плоскости;

4) у движения неподвижных точек нет.

Попробуем решить поставленный вопрос при помощи исследований каждого из этих случаев отдельно.

Исследование 6.1.

Пусть при некотором движении φ остались неподвижными три точки плоскости - А, В, С, не лежащие на одной прямой. Попытаемся определить вид движения φ.

В результате движения φ произвольная точка плоскости М переходит в точку М1. По определению движения М1А=МА (рис.9).

Рис.9

Если точки М1 и М различные, то точка А лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Аналогично точки В и С лежат на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Но по условию точки А, В, С, не лежат на одной прямой. Следовательно, точки М1 и М не могут быть различными, а значит, они совпадают.

Таким образом, рассматриваемое движение переводит каждую точку плоскости в себя, т.е. является тождественным отображением.

Вывод: если движение φ оставляет неподвижным три неколлинеарные точки

плоскости, то это движение – тождественное отображение (φ = ε).

Исследование 6.2.

Пусть при некотором движении φ остались неподвижными две точки плоскости - А и В. Попытаемся определить вид движения φ.

В результате движения φ произвольная точка М, не лежащая на прямой АВ, переходит в точку М1 (рис.10).

Рис.10

Если точки М и М1 совпадают, то φ = ε, поскольку оно оставляет неподвижными три неколлинеарные точки (А, В и М).

Если же точки М и М1 различные, то из равенств АМ=АМ1 и ВМ=ВМ1 следует, что прямая АВ является серединным перпендикуляром к отрезку ММ1. Иными словами, точки М и М1 симметричны относительно прямой АВ, все точки которой, как несложно заметить, остаются неподвижными.

Таким образом, рассматриваемое движение переводит каждую точку плоскости в точку, симметричную ей относительно прямой АВ, а значит движение φ является осевой симметрией.

Вывод: если движение φ ≠ ε и оставляет неподвижным две точки плоскости,

то это движение – осевая симметрия ( φ = σl ) .

Исследование 6.3.

Пусть при некотором движении φ осталась неподвижной лишь одна точка плоскости – точка О. Попытаемся определить вид движения φ.

В результате движения φ произвольная точка М, отличная от точки О, переходит в точку М1 (рис.11). Поскольку ОМ=ОМ1, то точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1.