В этом случае углы AX’B’ и AXC – внешние углы равностороннего треугольника AXX’. Поэтому ∟AXC = ∟AX’B’=120o. А тогда и ∟BXC = 120o.

Итак. l достигает наименьшего значения для такой точки X, из которой все стороны треугольника видны под равными углами. Эту точку Х легко построить на отрезке B’C, применив, например, параллельный перенос (рис.19).

! Замечание. Это решение пригодно лишь для треугольника, в котором все углы меньше 120о.

Добавим, что такую точку в треугольнике называют точкой Ферма, или чаще -точкой Торричелли (в честь итальянского математика начала XYII в. Эванджелиста Торричелли).

10.3. Метод осевой симметрии.

Рассмотрим, в качестве примера использования метода осевой симметрии, следующую задачу.

Задача.

В остроугольном треугольнике ABC определить кратчайший путь, ведущий из некоторой точки Р стороны АВ к стороне АС, отсюда к стороне ВС, а затем обратно в точку Р.

Решение.

Пусть Р’ - зеркальное отражение точки Р относительно стороны АС, а точка Р’’ – относительно стороны ВС (рис.20). Тогда искомый путь равен отрезку Р’Р’’ .

Этот отрезок пересекает стороны треугольника в точках Q и R, следовательно, кратчайшим путём является контур треугольника PQR.

Рис.20

Тем самым мы построили треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник и удовлетворяющий тому, что одна из его вершин совпадает с данной точкой Р. Периметр вписанного таким образом треугольника зависит, естественно, от выбора точки Р.

Если мы теперь хотим определить положение точки Р, при котором треугольник PQR имеет наименьший периметр, то следует принять во внимание, что стороны СР’ и СР’’ треугольника Р’СР’’ являются зеркальными образами отрезка СР, т.е. равны между собой.

Отсюда следует также, что ∟Р’СР’’ вдвое больше, чем ∟АВС, т.е. не зависит от выбора точки Р.

Следовательно, наименьший периметр имеет тот из треугольников Р’СР’’, который имеет наименьшее ребро, т.е. для которого соответствующий отрезок СР имеет наименьшую длину.

Таким образом, искомая точка Р является основанием перпендикуляра, опущенного из точки С на АВ.

Литература

1. Александров А.Л. и др. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/М.: Просвещение, 1995 г.

2. Александров А.Л. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб.пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики/М.: Просвещение, 1995 г.

3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/М., 1999 г.

4. Атанасян Л.С. и др. Доп. главы к шк. учеб. 9 кл. /М.: Просвещение, 1997 г.

5. Каазик Ю.Я. Математический словарь. Таллин: Валгус. 1985 г.

6. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. сред. шк. /М.: Просвещение, 1993 г.

7. Расин В.В. Лекции по геометрии: Аксиомы планиметрии. Преобразования плоскости. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2000 г.

8. Малая математическая энциклопедия. Академия наук Венгрии. Будапешт, 1976 г.

9. Математика. Большой энциклопедический словарь. Научное изд-во «Большая российская энциклопедия»/М., 1998 г.

10. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/М.: Аванта+, 2000 г.

11. Энциклопедический словарь юного математика/М.: Педагогика,1989 г.

12. Материалы Internet: http:/www.matk.rsu.ru/mexmat/post/metod/g110/g110.ru.htm.