фигуре P, то и фигура M конгруэнтна фигуре P.

Евклид данное свойство формулировал иначе: “Две фигуры, равные третьей, равны межлу собой”. Действительно, так как фигура M конгруэнтна фигуре N, существует движение φ, переводящее M в N. Поскольку N конгруэнтна фигуре P, есть движение g, переводящее N в P. Но тогда композиция φ ◦ g (тоже движение) переводит M в P, а значит, фигура M конгруэнтна фигуре P.

При переходе фигуры к конгруэнтной ей (при движении), все геометрические свойства фигуры сохраняются или, как говорят, они инвариантны (неизменны).

4. Виды движений.

Если на плоскости фигура F’ конгруэнтна фигуре F, то существует некоторое движение, переводящее F в F’. Оказывается, что на плоскости существует всего лишь четыре вида движений:

¨ Параллельный перенос;

¨ Симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия);

¨ Поворот вокруг точки;

¨ Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии и параллельного переноса вдоль оси симметрии).

Одним из этих движений и переводится F в F’.

4.1. Параллельный перенос.

Реальным примером фигур, полученных друг из друга параллельным переносом, являются одинаковые окна на фасаде дома. Начертив на плане одно из окон, можно затем получить любое другое окно, сместив все точки первого в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это свойство и определяет параллельный перенос.

Определение. Параллельным переносом называется такое преобразование фигуры,

при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же

направлении на одно и то же расстояние.

Подробнее: если при параллельном переносе точкам X и Y cопоставлены точки X’ и Y’, то

–→ –→ –→ –→

направленные отрезки XX’и YY’равны и одинаково направлены, так, что XX’=YY’. Равные направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Поэтому можно сказать так:

параллельный перенос – это преобразование τ, при котором все точки фигуры

перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса.

–→

Обозначение: τ–→, где АВ – вектор переноса.

АВ

Теорема 4.1. Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X’ и Y’. Тогда, как

–→ –→

следует из определения переноса, выполняется равенство XX’=YY’.

–→ –→

Согласно признаку равенства векторов из равенства XX’=YY’ следует равенство

–→ –→

XY=X’Y’. Поэтому X’Y’=XY, откуда следует, что параллельный перенос – движение, что и требовалось доказать.

Частным случаем параллельного переноса можно считать тождественное отображение (ε). Ясно, что при тождественном отображении происходит параллельный перенос на нулевой вектор.

4.2. Поворот.

Пусть дана точка O. На окружности с центром O можно указать одно из двух направлений обхода - по часовой стрелке или против неё. Этим задаются также два направления отсчёта углов от идущих из точки O лучей - по часовой стрелке или против неё.

Поворот фигуры F вокруг центра O на данный угол φ в данном направлении определяется так: каждой точке X фигуры F сопоставляется такая точка X’, что, во-первых, OX’=OX, во-вторых, ∟X’OX = φ, и, в-третьих, луч OX’откладывается от луча OX в заданном направлении.

Определение. Поворотом плоскости ρ вокруг данной точки O называется такое

движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки,

поворачивается на один и тот же угол α в одном и том же направлении.

Обозначение: ραО

Теорема 4.2. Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть O - центр поворота, α - угол поворота по часовой стрелке (случай поворота против часовой стрелки рассматривается аналогично). Допустим, что точки M и N перешли при этом повороте в точки M’ и N’. Треугольники OMN и OM’N’ равны по двум сторонам и углу между ними: OM=OM’, ON=ON’ и ∟MON=∟M’ON’.

Из равенства этих треугольников следует, что MN=M’N’’, как соответственные стороны, т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками M’ и N’.

Если точки M, O и N лежат на одной прямой, то отрезки MN и M’N’’буду либо суммой, либо разностью равных отрезков OM, ON и OM’, ON’. Поэтому и в этом случае MN=M’N’’, а значит – поворот является движением, что и требовалось доказать.

Особый случай представляет поворот на 180о.

Если O - центр такого поворота, то, чтобы построить точку, cсоответствующую точке X, достаточно продолжить отрезок XO за точку O на отрезок OX’=OX. Точки X и X’ в этом случае называют симметричными относительно точки O, а само преобразование – центральная симметрия с центром в точке O ( σО ) .

Т.к. симметричность точек X и X’относительно некоторой точки O взаимна, то и симметричность фигур относительно точки взаимна. А именно, если фигура F перешла при симметрии с центром O в фигуру F’, то и F’при этой симметрии перешла в F. В частности, фигура F может быть симметрична сама себе относительно точки O. Тогда говорят, что фигура F симметрична относительно точки O, и что точка O является центром симметрии фигуры F. Например, центр круга – это его центр симметрии, точка пересечения диагоналей параллелограмма – его центр симметрии.

Другой частный случай поворота – тождественное отображение (ε). Ясно, что тождественное отображение можно рассматривать как поворот вокруг произвольной точки на угол 0о или на угол 360о.

4.3. Симметрия относительно прямой.

Пусть l – фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую l. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок AX’, равный отрезку АХ. Точка X’называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой l, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.