Определение. Преобразование σ фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка

X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой l,

называется преобразованием симметрии относительно прямой l.

При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно

прямой l.

Обозначение: σl

Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l, а прямая l называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются осями симметрии ромба.

Симметрию относительно прямой часто также называютотражением в прямой, осевой или зеркальной симметрией.

Теорема 4.3.1. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство.

Примем данную прямую у за ось декартовой системы координат (рис.6). Пусть произвольная точка А(x;y) фигуры F переходит в точку А’(x’;y’) фигуры F’. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А’равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x’=- x.

Далее возьмём две произвольные точки А(x1; y1) и B(x2;y2). Они перейдут в точки А’(-x1;y1 ) и B’(-x2;y2).

Имеем: АB2 =(x2 - x1)2 +(у2 - у1)2 ; А’B’2 =(- x2 +x1)2 +(у2 - у1)2.

Отсюда видно, что АB=А’B’. А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение, что и требовалось доказать.

Рис.6

Теорема 4.3.2. Движение φ является осевой симметрией с осью l тогда и только тогда,

когда множество всех его неподвижных точек совпадает с l.

Доказательство.

Пусть φ = σl. Из определения осевой симметрии сразу следует, что l – множество её неподвижных точек. Проверим обратное утверждение: пусть прямая l – множество неподвижных точек движения φ. Образ произвольной точки Х при движении φ: Х’= φ(Х). Если Х є l, то Х’= Х. Если же Х Ï l, то точка Х не является неподвижной, поэтому Х’≠ Х. Т.к. Х’= φ(Х), прямая l равноудалена от точекХ’и Х, т.е. является серединным перпендикуляром к отрезку Х’Х. Таким образом, для любой точки Х выполнено равенство: φ(Х) = σl(Х), т.е. φ = σl.

4.4. Скользящая симметрия.

Заметим, что выделение скользящей симметрии в отдельный вид движения не совсем корректно, т.к. она является результатом последовательного выполнения осевой симметрии и параллельного переноса. Однако её свойства представляют определённый интерес.

Определение. Композиция движений τ ◦ σl, где σl – симметрия относительно

прямой l, а τ – параллельный перенос вдоль прямой l, не

являющийся тождественным отображением, называется

скользящей симметрией с осью l.

Скользящая симметрия с осью l обладает двумя свойствами, которые её полностью характеризуют:

- она не имеет неподвижных точек;

- прямая l является её неподвижной прямой.

Теорема. Движение φ является скользящей симметрией с осью l тогда и только

тогда, когда оно не имеет неподвижных точек, и l – его единственная

неподвижная прямая.

Доказательство.

Пусть φ имеет единственную неподвижную прямую l и не имеет неподвижных точек. Возьмём на прямой l произвольную точку A и рассмотрим точки B= φ(A), C= φ(B). Ясно, что B, C Î l. Кроме того, C¹A ( в противном случае середина сегмента AB была бы неподвижной точкой движения φ). Отсюда следует, что B– середина сегмента AC.

Поэтому τ–→(B) = A, а τ–→ (C) = B.

BA BA

Используя эти равенства, легко проверить, что точки A, B являются неподвижными точками композиции τ–→◦ φ. Поэтому множество всех неподвижных точек движения τ–→◦ φ

BA BA

содержитпрямую (AB) = l.

Но тогда τ–→ ◦ φ есть либо тождественное отображение, либо зеркальная симметрия σl.

BA

Равенство τ–→◦ φ = ε невозможно, ибо из него следует φ = τ–→ . Но φ имеет неподвижную

BA BA

прямую, а параллельный перенос – бесконечно много таких прямых.

Таким образом, τ–→◦ φ = σl, откуда φ = τ–→◦ σl .

BA BA

5. Исследование особых свойств осевой симметрии.

Осевая симметрия занимает особое место среди движений – с её помощью можно получить все известные нам движения.

Чтобы выяснить, какое движение получается в результате композиции двух осевых симметрий с различными осями l и m, необходимо исследовать два возможных случая:

1) прямые l и m параллельны;

2) прямые l и m пересекаются.

Исследование 5.1.

Пусть d – расстояние между параллельными прямыми l и m.

Введём систему координат так, чтобы ось Оx совпала с прямой l, а прямая m имела уравнение y = d (рис.7).

Рассмотрим произвольную точку М(x;y).

При симметрии относительно прямой l точка М перейдёт в точку N(x; -y). Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой m перейдёт в точку М1, что прямая m окажется серединным перпендикуляром к отрезку NМ1. Следовательно, середина отрезка NМ1 должна иметь координаты (x;d), а значит, сама точка М1 - координаты (x;y+2d).