Пусть

(7) множество значений функции , когда t, x постоянны, а независимо друг от друга пробегают соответственно множества .

Определение 4.

Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где (или , где - наименьшее выпуклое множество, содержащее множество ).

Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.

Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения

(управления).

Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция, - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности 1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например ,…, Sm (, полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

, (8)

где эквивалентные управления определяются так, чтобы вектор в (8) касался поверхностей ,…, Sm и чтобы значение содержалось в отрезке с концами , где – предельные значения функции с обеих сторон поверхности , i=1,…, m. Т.о., функции определяются из системы уравнений

.

Определение 5.

Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).

Например, в случае конец вектора лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от до :

Рис. 4.

С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид ).

Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению . Множество определено в (7), где – отрезок с концами и ; для тех , которые непрерывны в точке (t,x), является точкой .

Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества с касательной к пересечению поверхностей ,…, Sm. На рис. 4 множество – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.

Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями

(9)

x,f - n-мерные векторы-столбцы, - координаты системы, - непрерывные функции по всем аргументам (), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого претерпевает разрывы на поверхности :