Пример 4.

Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями:

,

В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника находим

.

Независимо от свойств поверхностей выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.

§3. Связь рассматриваемых теорий.

Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых было дано в §2.

Пусть задана система

(10)

где функция f(t, x) претерпевает разрыв на поверхности S: S(t, x)=0. Тогда множества , фигурирующие в определении импульсной системы, для системы (10) примут вид:

где оператор действует по закону

Если S(t, x)=0 разрешимо относительно t: , то систему (10) можно записать в виде:

(11)

Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10) сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей точки поверхности разрыва.

Решение X(t) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться следующим образом. Пусть задано начальное условие . Тогда для функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии Для функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии ; для – с решением системы (10) при условии и т.д. Каждое решение x(t) будет представлять собой непрерывную функцию.

Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет доопределить f(t, x) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б, В), так как осуществляется перескок через поверхность . В этом случае система (10) сводится к диф. включению

(12)

где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва в моменты .

Тогда решение x(t) () диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову, если для произвольных чисел существует такое число , что для любого другого решения включения (12) из того, что следует, что при всех таких, что , где – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей .

Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.

Пусть при функции 2, 3,… непрерывны, а функции удовлетворяют условию Липшица, т.е.

при всех i=1, 2, …, ,

и неравенству

.

Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения системы уравнений (8) x(t) , определенного при всех и лежащего в области

,

пересекает каждую поверхность только один раз.

Доказательство этой теоремы приведено в [12].

Теорема 5.

Если решение x(t) включения (12), определенное при всех устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8). Верно и обратное.

Доказательство.

Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения уравнения (8) о поверхности .

Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет устойчивым и для системы (8).

Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция V(t, x), удовлетворяющая неравенству

.

При почти всех t производная существует и удовлетворяет включению (12). При этих t существует и

,

т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.

Т.к. где M – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва в моменты , то указанная функция V(t, x) , будет удовлетворять и второму неравенству :

.