B¹

A

A¹

C¹

l

Рис. 7

изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном слу­чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель­ные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин парал­лельных отрезков, хотя сами длины и изменя­ются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свой­ства параллельной проекции:

· Если АВ =k CD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции точек A,B,C и D, то A¹B¹= k C¹D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не толь­ко длин, но и направлений (рис. 7). Таким об­разом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной про­екции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на од­ной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек про­странства.

В то же время изображением данной трой­ки точек, т. е. треугольника, может служить тре­угольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника

Рис. 8

ЛВС любую плоскость а, постро­им в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль пря­мой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равно­бедренный прямоу-гольный треугольник и до­строив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть лю­бые четыре точки, не лежащие на одной пря­мой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помо­гает решать задачи. Найдём, например, отно­шения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. По­смотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно,чтопроекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

Р(=К’) B(=D)

М

А

А¹

С

С¹

B¹(=D¹) Q