Геометрия в пространстве
Рефераты >> Математика >> Геометрия в пространстве

А вот признак параллельности плоскостей:

· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм «Геометрия — это искус­ство правильно рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к из­ложенным выше рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объясне­нии обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его при­думать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж мо­жет стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

а

Рис. 5

б

Художник (вернее, художник-реалист) на­рисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или централь­ной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а про­извольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямоли­нейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересека­ющиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств при­вело к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).

Рис. 6

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся па­раллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, па­раллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Про­екция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под

α

D

C

B


Страница: