Пусть прямая
l проходит через точки
А и
В плоскости
α(рис. 3). Вне плоскости
α есть хотя бы одна точка
С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через
А,
В и
С можно провести плоскость
β. Она отлична от плоскости
α, так как содержит
С и имеет с
α две общие точки. Значит,
β пересекается с
α по прямой, которой, как и
l, принадлежат
А,
В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с
l. Но эта линия лежит в плоскости
α, что и требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
· На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:
· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:
· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:
· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.