Если государство не может делать дополнительных заимствований для обеспечения выплат по базовому долгу, то размер денежной эмиссии определяется текущим дефицитом бюджета, а не целевой установкой по снижению долговой нагрузки. В подобной ситуации Россия оказалась после августовского кризиса. Если же власти могут прибегать к дополнительным заимствованиям на внешнем рынке, то оптимальный размер эмиссии в каждом периоде должен зависеть от долговременной целевой установки на сокращение долговых обязательств. В таком случае важно не только обеспечить минимальные размеры денежной эмиссии, но и учитывать ограничение на новые заимствования, вытекающие из долговременной цели. В целом при оптимальной политике управления долгом увеличение заимствований может сопровождаться инфляционным финансированием бюджетного дефицита [65, 21].

Для построения формальной модели управления внешним долгом следует предположить, что у страны есть некий базовый долг D0, номинированный в иностранной валюте, по которому установлен график ежегодных выплат. В каждый год, начиная с нулевого периода времени t = 0 и до конечного периода T, размер выплат составляет δt долл. В каждый период осуществляются дополнительные заимствования правительством на рынке либо используются ресурсы монетарной власти.

Тогда задача обеспечения всех выплат по графику при минимальной инфляционной нагрузке на экономику формально представляется как задача минимизации ожидаемой дисконтированной функции потерь, имеющая вид:

где mt – реальный прирост денежной базы, или сеньораж[5];

β - дисконтирующий множитель;

R – реальный процент;

bt – дополнительные заимствования к концу периода t в реальном выражении (причем b0 = 0);

dt – реальный дефицит бюджета в периоде t, связанный с обслуживанием начального долга. Дефицит бюджета представляет собой разность dt = xt * δt – st, где: xt - реальный курс доллара[6]; st – первичный профицит бюджета [65, 22].

Выражение (19) отражает ожидаемые дисконтированные потери от инфляционного финансирования дефицита, где символ E0 обозначает математическое ожидание, обусловленное начальной информацией. Уравнения (20) характеризуют последовательность динамических бюджетных ограничений, связывающих выплаты по долгу в различные периоды времени. Дополнительные заимствования bt осуществляются на внешнем либо внутреннем рынке с целью обслуживания и погашения начального долга. Неравенство (21) ограничивает предельную величину государственных обязательств на конечный момент Т.

Если предположить, что реальный процент обратно пропорционален дисконтирующему множителю, R = 1 / β, а график выплат по долгу и величина долга на конец периода b* известны, то терминальный долг b* можно рассматривать в качестве целевого ориентира долгосрочной долговой политики государства, а величины xt и st - как экзогенные случайные.

Финансовые рынки могут быть настолько развиты, что орган управления государственным долгом может полностью оградиться от всех рисков, влияющих на реальные выплаты (иначе такую ситуацию можно описать набором полных рынков) [65, 23]. В таком случае правительству можно обеспечить запланированные финансовые потоки в реальном выражении для любого периода времени и при любом состоянии.

В системе полных рынков реальные приросты денежной базы выравниваются во времени, то есть оптимальным является стабильный уровень сеньоража. При этом оптимальный сеньораж может быть определен как разность ожидаемого среднего дефицита и дисконтированного терминального долга [65, 24].

Если же число инструментов страхования недостаточно для охвата всех факторов неопределенности, система рынков называется неполной [65, 25], что в наибольшей мере отвечает реальному уровню развития рынка государственных обязательств России. Необходимым условием оптимальности для задачи управления долгом (19)-(21) являются в таком случае следующие соотношения:

Символ условного математического ожидания Et означает, что прогноз делается на основе всей доступной информации. При оптимальной политике сеньораж в текущем периоде равен ожидаемой денежной эмиссии в следующем периоде. Эти требования соответствуют стратегии сглаживания инфляционной нагрузки во времени в условиях неопределенности. Используя соотношения (22), можно решить задачу управления долгом (19) – (21) в виде уравнения (23):

где τ – срок до окончания рассматриваемого периода, deT- τ – средний дефицит, ожидаемый на период (T- τ, T):

причем весами служат нормированные дисконтирующие множители:

которые обеспечивают приведение выплат в периоде t ≥ Т – τ к текущему периоду Т-τ [65, 25].

Согласно (23) – (25), сеньораж равен сумме среднего дефицита deT- τ , ожидаемого за период (Т-τ, Т), и долговых обязательств государства к погашению, определяемых как разность текущего и приведенного терминального долгов (bT-τ - μt,T- τ b*).

Как видно из проведенного анализа, в условиях полных рынков благодаря системе полных рынков государство застраховано от неожиданных изменений дефицита. В случае неполных рынков размеры денежной эмиссии пересматривают ежегодно на основе новой информации об ожидаемом среднем дефиците на остающийся период. Сеньораж покрывает не только приведенный ожидаемый дефицит, но и накопленный к текущему периоду t новый долг bt. По мере приближения к конечному периоду все больший «вес» приобретает терминальный долг. Это так, поскольку коэффициент приведения μt,T- τ со временем увеличивается. Следует отметить, что в обоих случаях размеры сеньоража одинаковы для начального периода, поскольку b0 = 0, и прогноз дефицита строится на базе информации, доступной к начальному моменту времени 0.

В случае отсутствия финансовых рынков (например, в такой ситуации оказалась система государственных финансов России после кризиса 1998 г., когда у фискальных властей не осталось иного выбора, кроме инфляционного финансирования дефицита) новые заимствования невозможны, то есть bt = 0, и в каждый период времени t = 1, …, T сеньораж равен реальному дефициту: